Ваша ошибка в том, что администраторы - это не массив, а объект с полями, которые сами являются объектами с полем имени. Правильный запрос будет
{ "administrators.-HGFsfes.name": /Jos/}
К сожалению, таким образом вы запрашиваете только поле имени -HGFsfes, а не другое поле имени администратора.
Чтобы достичь того, что вы хотите, единственное, что нужно сделать, это заменить объект администратора на массив, чтобы ваш документ выглядел так:
{
"administrators" : [
{
"id" : "-HGFsfes",
"name" : "Jose",
"phone" : 124324
},
{
"id" : "-HGFsfqs",
"name" : "Peter",
"phone" : "+43242342"
}
],
countries : ...
}
Таким образом, ваш запрос будет работать.
НО вернет документы, где хотя бы одна запись в массиве администраторов имеет совпадающее поле имени. Чтобы вернуть только соответствующий элемент администратора, а не весь документ, проверьте этот вопрос и мой ответ для конвейера раскручивания / сопоставления / объединения групп.