Свойство HttpWebResponse.Cookies уже должно содержать файлы cookie, связанные с ответом.
Вам также следует избегать звонков GetResponse
несколько раз.
var cookies = new CookieContainer();
HttpWebRequest webRequest = WebRequest.Create(URL) as HttpWebRequest;
webRequest.CookieContainer = cookies;
var response = (HttpWebResponse)webRequest.GetResponse();
using (var responseReader = new StreamReader(response.GetResponseStream())) {
var responseCookies = response.Cookies;
string responseData = responseReader.ReadToEnd();
//...
}
Вы можете повторно использовать контейнер cookie для последующих запросов, так как они были бы добавлены в ответе