Вы не упомянули версию CakePHP, которую вы используете, поэтому я буду считать, что 3.x
На официальной поваренной книге вы можете увидеть, как создать адаптер журнала , и вы можетезатем используйте его, чтобы отправить журналы в среду Elastic Beanstalk.
Если вы вышли из класса BaseLog, как в примере, вы предлагаете написать очень мало кода.
Далее вам нужно правильно настроить новый регистратор в app.php
Для CakePHP 2.x вам нужно посмотреть эту документацию о том, как создать новый поток журнала.