Вы программно добавляете новую строку текста или пользователь печатает ее?
В любом случае, вы можете прокрутить текстовую область до дна с небольшим количеством javascript:
textarea.scrollTop = textarea.scrollHeight;
scrollHeight - общая высота содержимого, включая скрытые биты.
scrollTop - это смещение видимой области от верхней части содержимого.