Стандартный PictureBox элемент управления может отображать анимированные GIF-файлы.
Создайте PictureBox в своей форме, установите для его свойства Image анимированный GIF и установите для его свойства Visible false.
Затем, когда вы хотите выполнить свое действие, установите для свойства PictureBox 'Visible значение true в коде, выполните действие и снова установите для него значение false.
Обратите внимание, что если вы выполните свое действие в потоке пользовательского интерфейса, форма, включая анимацию, будет зависать до ее завершения. Чтобы решить эту проблему, посмотрите на компонент BackgroundWorker.