Вы можете использовать такой клиент, как RestSharp, а затем использовать Postman для генерации кода на C #.
При вашей текущей настройке что-то подобное в вашем Button_Add_Click
может работать (я не проверял это):
var webRequest = (HttpWebRequest)WebRequest.Create("https://school-time.co/app2/index.php/api/students/");
var postData = "name=hello";
postData += "&email =world@test.com";
//add other attributes...
var data = Encoding.ASCII.GetBytes(postData);
webRequest.Method = "POST";
webRequest.Headers.Add("ST-API-KEY", "StRest@123");
webRequest.ContentType = "application/json";
using (var stream = webRequest.GetRequestStream())
{
stream.Write(data, 0, data.Length);
}
var response = (HttpWebResponse)webRequest.GetResponse();
var responseString = new StreamReader(response.GetResponseStream()).ReadToEnd();
}