Вы можете получить доступ к методу запроса, используя контекст сериализатора, как показано ниже,
def validate_title(self, value):
<b>request_method = self.context['request'].method # change is here</b>
qs = Place.objects.filter(title__iexact=value)
if qs.exists():
raise serializers.ValidationError("Duplicated title")
return value