Я считаю, что проблема в вашем nextAll (), так как вы нацелены на дочерние элементы, а не на братьев и сестер.
JQuery:
$(document).ready(function(){
$(".nav_dropdown").click(function(e){
e.preventDefault();
$(this).find('.nav_dropdown_contents').toggleClass('visible');
});
$(".nav_menu_toggle").click(function(e){
e.preventDefault();
$('.nav_link').toggleClass('visible');
});
});
CSS (я прокомментировал всплывающие подсказки, чтобы вы могли немного проще протестировать):
.nav_maincontainer{width:100%; height:50px; display:flex; align-items:center; padding:0px 100px; background-color:#004771; position:relative;}
.nav_link{font-size:17px; padding:0px 30px; color:white; display:flex; justify-content:center; align-items:center; height:100%; width:auto; }
.nav_link:first-child{margin-right:auto;}
.nav_link:nth-child(3){margin-left:auto;}
.nav_dropdown{width:auto; height:100%; position:relative;}
.nav_dropdown_btn{font-size:17px; padding:0px 30px; color:white; height:100%;}
.fa-caret-down{color:white; font-size:10px; margin-left:5px;}
.nav_dropdown_contents{display:none; min-width:200px; flex-direction:column; height:auto; position:absolute; top:100%; left:0px;}
.nav_dropdown_link{padding:15px 10px; background-color:#383838; font-size:15px; color:white; border-bottom:1px solid rgba(255,255,255,0.2);}
.nav_menu_toggle{font-size:20px; color:white; display:none; width:50px; height:50px; }
/* .nav_dropdown:hover .nav_dropdown_contents{ display:flex;} */
.nav_link:hover{background-color:#072060;}
@media only screen and (max-width: 736px)
{
.nav_maincontainer{width:100%; height:auto; display:flex; flex-direction:column; align-items:center; padding:0px; background-color:#004771; position:relative;}
.nav_link{font-size:16px; width:100%; height:45px; display:none; padding:0px 10px; align-items:center; border-bottom:1px solid rgba(255,255,255,0.2); justify-content:flex-start; color:white;}
.nav_dropdown{width:100%; height:auto; position:relative;}
.nav_dropdown_btn{font-size:16px; padding:0px 30px; color:white; height:100%;}
.fa-caret-down{color:white; font-size:10px; margin-left:auto;}
.nav_dropdown_contents{display:none; min-width:100%; flex-direction:column; height:auto; font-size:15px; position:relative; top:0px; left:0px;}
.nav_dropdown_link{padding:0px 10px; height:45px; display:flex; align-items:center; background-color:#383838; color:white; border-bottom:1px solid rgba(255,255,255,0.2);}
.nav_menu_toggle{width:100%; height:45px; display:flex; align-items:center; padding:10px; border-bottom:1px solid rgba(255,255,255,0.2);}
.nav_menu_text{color:white; margin-right:auto; font-size:16px;}
.fa-bars{color:white; font-size:20px; margin-left:auto;}
/* .nav_dropdown:hover .nav_dropdown_contents{ display:flex;} */
.nav_link:hover{background-color:#072060;}
}
.flex {display:flex;}
.visible{display:flex;}
https://jsfiddle.net/onxcx0r4/3/