Большая ошибка в границах при расчете первой и второй производной с использованием конечной разности

Question

Я вычисляю первую и вторую производные функции a (x, y, z), хранящейся в трехмерном массиве a (n1, n2, n3), используя метод конечных разностей.Здесь функциональное значение на границах равно нулю.Вот код на Фортране:

implicit none
integer i1,i2,i3

integer, parameter :: n1 = 33
integer, parameter :: n2 = 33
integer, parameter :: n3 = 32

real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
real*8 num(n1,n2,n3),deno(n1,n2,n3),diff(n1,n2,1),A0,dx,dy

pi=3.14159265358979323846d0
dx=2.0d0*pi/(n1-1)
dy=4.0d0*pi/(n2-1)

do i1=1,n1
  x(i1)=-pi+(i1-1)*dx
  do i2=1,n2
    y(i2)=-2.0d0*pi+(i2-1)*dy
    do i3=1,n3
      z(i3)=(i3-1)*2.0d0*pi/n3
      a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0)  !input array
      a1(i1,i2,1)= - 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0)  !analytical expression of first order y-derivative
    enddo
  enddo
enddo

do i1=1,n1
  do i2=1,n2
    write(20,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1)
  enddo
enddo
call d1y(n1,n2,n3,a,a2)
do i1=1,n1
  do i2=1,n2
     num(i1,i2,1)=(a2(i1,i2,1)-a1(i1,i2,1))  !numerator of error calculation
     deno(i1,i2,1)=a2(i1,i2,1)               !denomenator of error calculation
     if (dabs(deno(i1,i2,1)) .lt. 1e-10)deno(i1,i2,1)=1.0d0
     diff(i1,i2,1)=dabs(num(i1,i2,1))/dabs(deno(i1,i2,1))  !relative error in 1st order derivative calculation
    write(21,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1),a2(i1,i2,1),diff(i1,i2,1),a1(i1,i2,1)
    write(21,*)
  enddo
enddo
end

subroutine d1y(n1,n2,n3,a,a2)
implicit none
integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
pi=3.14159265358979323846d0
h=4.0d0*pi/(n2-1)

do i1=1,n1
   do i3=1,n3
      do i2=1,n2
         if(i2 .eq. 1)then
            a2(i1,i2,i3)=( -3.0d0*a(i1,i2,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2+2,i3) )/ (2.0d0*h)
          else if(i2 .eq. n2)then
            a2(i1,i2,i3)=( 3.0d0*a(i1,i2,i3) - 4.0d0*a(i1,i2-1,i3) + a(i1,i2-2,i3) )/ (2.0d0*h)
          else
            a2(i1,i2,i3)=( a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2-1,i3) )/ (2.0d0*h)
          endif
       enddo
    enddo
 enddo     
end subroutine

Моя функция ввода a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0), поэтому пример входных данных (для сетки № 17 * 17 * 16)

    -3.1415926535897931       -6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
  -3.1415926535897931       -5.4977871437821380        1.1945836920083898E-017
  -3.1415926535897931       -4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
  -3.1415926535897931       -3.9269908169872414        3.4018865378450254E-017
  -3.1415926535897931       -3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
  -3.1415926535897931       -2.3561944901923448        5.0912829964730140E-017
  -3.1415926535897931       -1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
  -3.1415926535897931      -0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
  -3.1415926535897931        0.0000000000000000        6.1232339957367660E-017
  -3.1415926535897931       0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
  -3.1415926535897931        1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
  -3.1415926535897931        2.3561944901923439        5.0912829964730146E-017
  -3.1415926535897931        3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
  -3.1415926535897931        3.9269908169872423        3.4018865378450242E-017
  -3.1415926535897931        4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
  -3.1415926535897931        5.4977871437821371        1.1945836920083910E-017
  -3.1415926535897931        6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
  -2.7488935718910690       -6.2831853071795862        1.1945836920083898E-017
  -2.7488935718910690       -5.4977871437821380        3.8060233744356645E-002
  -2.7488935718910690       -4.7123889803846897        7.4657834050342639E-002
  -2.7488935718910690       -3.9269908169872414       0.10838637566236967     
  -2.7488935718910690       -3.1415926535897931       0.13794968964147156     
  -2.7488935718910690       -2.3561944901923448       0.16221167441072892     
  -2.7488935718910690       -1.5707963267948966       0.18023995550173702     
  -2.7488935718910690      -0.78539816339744828       0.19134171618254495     
  -2.7488935718910690        0.0000000000000000       0.19509032201612833     
  -2.7488935718910690       0.78539816339744828       0.19134171618254495     
  -2.7488935718910690        1.5707963267948966       0.18023995550173702     
  -2.7488935718910690        2.3561944901923439       0.16221167441072895     
  -2.7488935718910690        3.1415926535897931       0.13794968964147156     
  -2.7488935718910690        3.9269908169872423       0.10838637566236962     
  -2.7488935718910690        4.7123889803846897        7.4657834050342639E-002
  -2.7488935718910690        5.4977871437821371        3.8060233744356686E-002
  -2.7488935718910690        6.2831853071795862        1.1945836920083898E-017
  -2.3561944901923448       -6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
  -2.3561944901923448       -5.4977871437821380        7.4657834050342639E-002
  -2.3561944901923448       -4.7123889803846897       0.14644660940672630     
  -2.3561944901923448       -3.9269908169872414       0.21260752369181418     
  -2.3561944901923448       -3.1415926535897931       0.27059805007309856     
  -2.3561944901923448       -2.3561944901923448       0.31818964514320852     
  -2.3561944901923448       -1.5707963267948966       0.35355339059327384     
  -2.3561944901923448      -0.78539816339744828       0.37533027751786530     
  -2.3561944901923448        0.0000000000000000       0.38268343236508984     
  -2.3561944901923448       0.78539816339744828       0.37533027751786530     
  -2.3561944901923448        1.5707963267948966       0.35355339059327384     
  -2.3561944901923448        2.3561944901923439       0.31818964514320858     
  -2.3561944901923448        3.1415926535897931       0.27059805007309856     
  -2.3561944901923448        3.9269908169872423       0.21260752369181410     
  -2.3561944901923448        4.7123889803846897       0.14644660940672630     
  -2.3561944901923448        5.4977871437821371        7.4657834050342722E-002
  -2.3561944901923448        6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
  -1.9634954084936207       -6.2831853071795862        3.4018865378450254E-017
  -1.9634954084936207       -5.4977871437821380       0.10838637566236967     
  -1.9634954084936207       -4.7123889803846897       0.21260752369181418     
  -1.9634954084936207       -3.9269908169872414       0.30865828381745519     
  -1.9634954084936207       -3.1415926535897931       0.39284747919355117     
  -1.9634954084936207       -2.3561944901923448       0.46193976625564342     
  -1.9634954084936207       -1.5707963267948966       0.51327996715933677     
  -1.9634954084936207      -0.78539816339744828       0.54489510677581865     
  -1.9634954084936207        0.0000000000000000       0.55557023301960229     
  -1.9634954084936207       0.78539816339744828       0.54489510677581865     
  -1.9634954084936207        1.5707963267948966       0.51327996715933677     
  -1.9634954084936207        2.3561944901923439       0.46193976625564348     
  -1.9634954084936207        3.1415926535897931       0.39284747919355117     
  -1.9634954084936207        3.9269908169872423       0.30865828381745508     
  -1.9634954084936207        4.7123889803846897       0.21260752369181418     
  -1.9634954084936207        5.4977871437821371       0.10838637566236978     
  -1.9634954084936207        6.2831853071795862        3.4018865378450254E-017
  -1.5707963267948966       -6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
  -1.5707963267948966       -5.4977871437821380       0.13794968964147156     
  -1.5707963267948966       -4.7123889803846897       0.27059805007309856     
  -1.5707963267948966       -3.9269908169872414       0.39284747919355117     
  -1.5707963267948966       -3.1415926535897931       0.50000000000000011     
  -1.5707963267948966       -2.3561944901923448       0.58793780120967942     
  -1.5707963267948966       -1.5707963267948966       0.65328148243818829     
  -1.5707963267948966      -0.78539816339744828       0.69351992266107376     
  -1.5707963267948966        0.0000000000000000       0.70710678118654757     
  -1.5707963267948966       0.78539816339744828       0.69351992266107376     
  -1.5707963267948966        1.5707963267948966       0.65328148243818829     
  -1.5707963267948966        2.3561944901923439       0.58793780120967942     
  -1.5707963267948966        3.1415926535897931       0.50000000000000011     
  -1.5707963267948966        3.9269908169872423       0.39284747919355101     
  -1.5707963267948966        4.7123889803846897       0.27059805007309856     
  -1.5707963267948966        5.4977871437821371       0.13794968964147170     
  -1.5707963267948966        6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
  -1.1780972450961724       -6.2831853071795862        5.0912829964730140E-017
  -1.1780972450961724       -5.4977871437821380       0.16221167441072892     
  -1.1780972450961724       -4.7123889803846897       0.31818964514320852     
  -1.1780972450961724       -3.9269908169872414       0.46193976625564342     
  -1.1780972450961724       -3.1415926535897931       0.58793780120967942     
  -1.1780972450961724       -2.3561944901923448       0.69134171618254492     
  -1.1780972450961724       -1.5707963267948966       0.76817775671141630     
  -1.1780972450961724      -0.78539816339744828       0.81549315684891710     
  -1.1780972450961724        0.0000000000000000       0.83146961230254524     
  -1.1780972450961724       0.78539816339744828       0.81549315684891710     
  -1.1780972450961724        1.5707963267948966       0.76817775671141630     
  -1.1780972450961724        2.3561944901923439       0.69134171618254503     
  -1.1780972450961724        3.1415926535897931       0.58793780120967942     
  -1.1780972450961724        3.9269908169872423       0.46193976625564326     
  -1.1780972450961724        4.7123889803846897       0.31818964514320852     
  -1.1780972450961724        5.4977871437821371       0.16221167441072909     
  -1.1780972450961724        6.2831853071795862        5.0912829964730140E-017
 -0.78539816339744828       -6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
 -0.78539816339744828       -5.4977871437821380       0.18023995550173702     
 -0.78539816339744828       -4.7123889803846897       0.35355339059327384     
 -0.78539816339744828       -3.9269908169872414       0.51327996715933677     
 -0.78539816339744828       -3.1415926535897931       0.65328148243818829     
 -0.78539816339744828       -2.3561944901923448       0.76817775671141630     
 -0.78539816339744828       -1.5707963267948966       0.85355339059327373     
 -0.78539816339744828      -0.78539816339744828       0.90612744635288778     
 -0.78539816339744828        0.0000000000000000       0.92387953251128674     
 -0.78539816339744828       0.78539816339744828       0.90612744635288778     
 -0.78539816339744828        1.5707963267948966       0.85355339059327373     
 -0.78539816339744828        2.3561944901923439       0.76817775671141642     
 -0.78539816339744828        3.1415926535897931       0.65328148243818829     
 -0.78539816339744828        3.9269908169872423       0.51327996715933655     
 -0.78539816339744828        4.7123889803846897       0.35355339059327384     
 -0.78539816339744828        5.4977871437821371       0.18023995550173721     
 -0.78539816339744828        6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
 -0.39269908169872414       -6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
 -0.39269908169872414       -5.4977871437821380       0.19134171618254495     
 -0.39269908169872414       -4.7123889803846897       0.37533027751786530     
 -0.39269908169872414       -3.9269908169872414       0.54489510677581865     
 -0.39269908169872414       -3.1415926535897931       0.69351992266107376     
 -0.39269908169872414       -2.3561944901923448       0.81549315684891710     
 -0.39269908169872414       -1.5707963267948966       0.90612744635288778     
 -0.39269908169872414      -0.78539816339744828       0.96193976625564337     
 -0.39269908169872414        0.0000000000000000       0.98078528040323043     
 -0.39269908169872414       0.78539816339744828       0.96193976625564337     
 -0.39269908169872414        1.5707963267948966       0.90612744635288778     
 -0.39269908169872414        2.3561944901923439       0.81549315684891721     
 -0.39269908169872414        3.1415926535897931       0.69351992266107376     
 -0.39269908169872414        3.9269908169872423       0.54489510677581843     
 -0.39269908169872414        4.7123889803846897       0.37533027751786530     
 -0.39269908169872414        5.4977871437821371       0.19134171618254514     
 -0.39269908169872414        6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
   0.0000000000000000       -6.2831853071795862        6.1232339957367660E-017
   0.0000000000000000       -5.4977871437821380       0.19509032201612833     
   0.0000000000000000       -4.7123889803846897       0.38268343236508984     
   0.0000000000000000       -3.9269908169872414       0.55557023301960229     
   0.0000000000000000       -3.1415926535897931       0.70710678118654757     
   0.0000000000000000       -2.3561944901923448       0.83146961230254524     
   0.0000000000000000       -1.5707963267948966       0.92387953251128674     
   0.0000000000000000      -0.78539816339744828       0.98078528040323043     
   0.0000000000000000        0.0000000000000000        1.0000000000000000     
   0.0000000000000000       0.78539816339744828       0.98078528040323043     
   0.0000000000000000        1.5707963267948966       0.92387953251128674     
   0.0000000000000000        2.3561944901923439       0.83146961230254535     
   0.0000000000000000        3.1415926535897931       0.70710678118654757     
   0.0000000000000000        3.9269908169872423       0.55557023301960207     
   0.0000000000000000        4.7123889803846897       0.38268343236508984     
   0.0000000000000000        5.4977871437821371       0.19509032201612853     
   0.0000000000000000        6.2831853071795862        6.1232339957367660E-017
  0.39269908169872414       -6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
  0.39269908169872414       -5.4977871437821380       0.19134171618254495     
  0.39269908169872414       -4.7123889803846897       0.37533027751786530     
  0.39269908169872414       -3.9269908169872414       0.54489510677581865     
  0.39269908169872414       -3.1415926535897931       0.69351992266107376     
  0.39269908169872414       -2.3561944901923448       0.81549315684891710     
  0.39269908169872414       -1.5707963267948966       0.90612744635288778     
  0.39269908169872414      -0.78539816339744828       0.96193976625564337     
  0.39269908169872414        0.0000000000000000       0.98078528040323043     
  0.39269908169872414       0.78539816339744828       0.96193976625564337     
  0.39269908169872414        1.5707963267948966       0.90612744635288778     
  0.39269908169872414        2.3561944901923439       0.81549315684891721     
  0.39269908169872414        3.1415926535897931       0.69351992266107376     
  0.39269908169872414        3.9269908169872423       0.54489510677581843     
  0.39269908169872414        4.7123889803846897       0.37533027751786530     
  0.39269908169872414        5.4977871437821371       0.19134171618254514     
  0.39269908169872414        6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
  0.78539816339744828       -6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
  0.78539816339744828       -5.4977871437821380       0.18023995550173702     
  0.78539816339744828       -4.7123889803846897       0.35355339059327384     
  0.78539816339744828       -3.9269908169872414       0.51327996715933677     
  0.78539816339744828       -3.1415926535897931       0.65328148243818829     
  0.78539816339744828       -2.3561944901923448       0.76817775671141630     
  0.78539816339744828       -1.5707963267948966       0.85355339059327373     
  0.78539816339744828      -0.78539816339744828       0.90612744635288778     
  0.78539816339744828        0.0000000000000000       0.92387953251128674     
  0.78539816339744828       0.78539816339744828       0.90612744635288778     
  0.78539816339744828        1.5707963267948966       0.85355339059327373     
  0.78539816339744828        2.3561944901923439       0.76817775671141642     
  0.78539816339744828        3.1415926535897931       0.65328148243818829     
  0.78539816339744828        3.9269908169872423       0.51327996715933655     
  0.78539816339744828        4.7123889803846897       0.35355339059327384     
  0.78539816339744828        5.4977871437821371       0.18023995550173721     
  0.78539816339744828        6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
   1.1780972450961720       -6.2831853071795862        5.0912829964730146E-017
   1.1780972450961720       -5.4977871437821380       0.16221167441072895     
   1.1780972450961720       -4.7123889803846897       0.31818964514320858     
   1.1780972450961720       -3.9269908169872414       0.46193976625564348     
   1.1780972450961720       -3.1415926535897931       0.58793780120967942     
   1.1780972450961720       -2.3561944901923448       0.69134171618254503     
   1.1780972450961720       -1.5707963267948966       0.76817775671141642     
   1.1780972450961720      -0.78539816339744828       0.81549315684891721     
   1.1780972450961720        0.0000000000000000       0.83146961230254535     
   1.1780972450961720       0.78539816339744828       0.81549315684891721     
   1.1780972450961720        1.5707963267948966       0.76817775671141642     
   1.1780972450961720        2.3561944901923439       0.69134171618254503     
   1.1780972450961720        3.1415926535897931       0.58793780120967942     
   1.1780972450961720        3.9269908169872423       0.46193976625564331     
   1.1780972450961720        4.7123889803846897       0.31818964514320858     
   1.1780972450961720        5.4977871437821371       0.16221167441072912     
   1.1780972450961720        6.2831853071795862        5.0912829964730146E-017
   1.5707963267948966       -6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
   1.5707963267948966       -5.4977871437821380       0.13794968964147156     
   1.5707963267948966       -4.7123889803846897       0.27059805007309856     
   1.5707963267948966       -3.9269908169872414       0.39284747919355117     
   1.5707963267948966       -3.1415926535897931       0.50000000000000011     
   1.5707963267948966       -2.3561944901923448       0.58793780120967942     
   1.5707963267948966       -1.5707963267948966       0.65328148243818829     
   1.5707963267948966      -0.78539816339744828       0.69351992266107376     
   1.5707963267948966        0.0000000000000000       0.70710678118654757     
   1.5707963267948966       0.78539816339744828       0.69351992266107376     
   1.5707963267948966        1.5707963267948966       0.65328148243818829     
   1.5707963267948966        2.3561944901923439       0.58793780120967942     
   1.5707963267948966        3.1415926535897931       0.50000000000000011     
   1.5707963267948966        3.9269908169872423       0.39284747919355101     
   1.5707963267948966        4.7123889803846897       0.27059805007309856     
   1.5707963267948966        5.4977871437821371       0.13794968964147170     
   1.5707963267948966        6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
   1.9634954084936211       -6.2831853071795862        3.4018865378450242E-017
   1.9634954084936211       -5.4977871437821380       0.10838637566236962     
   1.9634954084936211       -4.7123889803846897       0.21260752369181410     
   1.9634954084936211       -3.9269908169872414       0.30865828381745508     
   1.9634954084936211       -3.1415926535897931       0.39284747919355101     
   1.9634954084936211       -2.3561944901923448       0.46193976625564326     
   1.9634954084936211       -1.5707963267948966       0.51327996715933655     
   1.9634954084936211      -0.78539816339744828       0.54489510677581843     
   1.9634954084936211        0.0000000000000000       0.55557023301960207     
   1.9634954084936211       0.78539816339744828       0.54489510677581843     
   1.9634954084936211        1.5707963267948966       0.51327996715933655     
   1.9634954084936211        2.3561944901923439       0.46193976625564331     
   1.9634954084936211        3.1415926535897931       0.39284747919355101     
   1.9634954084936211        3.9269908169872423       0.30865828381745491     
   1.9634954084936211        4.7123889803846897       0.21260752369181410     
   1.9634954084936211        5.4977871437821371       0.10838637566236972     
   1.9634954084936211        6.2831853071795862        3.4018865378450242E-017
   2.3561944901923448       -6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
   2.3561944901923448       -5.4977871437821380        7.4657834050342639E-002
   2.3561944901923448       -4.7123889803846897       0.14644660940672630     
   2.3561944901923448       -3.9269908169872414       0.21260752369181418     
   2.3561944901923448       -3.1415926535897931       0.27059805007309856     
   2.3561944901923448       -2.3561944901923448       0.31818964514320852     
   2.3561944901923448       -1.5707963267948966       0.35355339059327384     
   2.3561944901923448      -0.78539816339744828       0.37533027751786530     
   2.3561944901923448        0.0000000000000000       0.38268343236508984     
   2.3561944901923448       0.78539816339744828       0.37533027751786530     
   2.3561944901923448        1.5707963267948966       0.35355339059327384     
   2.3561944901923448        2.3561944901923439       0.31818964514320858     
   2.3561944901923448        3.1415926535897931       0.27059805007309856     
   2.3561944901923448        3.9269908169872423       0.21260752369181410     
   2.3561944901923448        4.7123889803846897       0.14644660940672630     
   2.3561944901923448        5.4977871437821371        7.4657834050342722E-002
   2.3561944901923448        6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
   2.7488935718910685       -6.2831853071795862        1.1945836920083910E-017
   2.7488935718910685       -5.4977871437821380        3.8060233744356686E-002
   2.7488935718910685       -4.7123889803846897        7.4657834050342722E-002
   2.7488935718910685       -3.9269908169872414       0.10838637566236978     
   2.7488935718910685       -3.1415926535897931       0.13794968964147170     
   2.7488935718910685       -2.3561944901923448       0.16221167441072909     
   2.7488935718910685       -1.5707963267948966       0.18023995550173721     
   2.7488935718910685      -0.78539816339744828       0.19134171618254514     
   2.7488935718910685        0.0000000000000000       0.19509032201612853     
   2.7488935718910685       0.78539816339744828       0.19134171618254514     
   2.7488935718910685        1.5707963267948966       0.18023995550173721     
   2.7488935718910685        2.3561944901923439       0.16221167441072912     
   2.7488935718910685        3.1415926535897931       0.13794968964147170     
   2.7488935718910685        3.9269908169872423       0.10838637566236972     
   2.7488935718910685        4.7123889803846897        7.4657834050342722E-002
   2.7488935718910685        5.4977871437821371        3.8060233744356721E-002
   2.7488935718910685        6.2831853071795862        1.1945836920083910E-017
   3.1415926535897931       -6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
   3.1415926535897931       -5.4977871437821380        1.1945836920083898E-017
   3.1415926535897931       -4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
   3.1415926535897931       -3.9269908169872414        3.4018865378450254E-017
   3.1415926535897931       -3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
   3.1415926535897931       -2.3561944901923448        5.0912829964730140E-017
   3.1415926535897931       -1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
   3.1415926535897931      -0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
   3.1415926535897931        0.0000000000000000        6.1232339957367660E-017
   3.1415926535897931       0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
   3.1415926535897931        1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
   3.1415926535897931        2.3561944901923439        5.0912829964730146E-017
   3.1415926535897931        3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
   3.1415926535897931        3.9269908169872423        3.4018865378450242E-017
   3.1415926535897931        4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
   3.1415926535897931        5.4977871437821371        1.1945836920083910E-017
   3.1415926535897931        6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033

Вход и выходфункции показаны на рисунке ниже.dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0)">
Поскольку функция вывода такая же, как - 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0), это показывает, что производный расчет верен.Здесь, в подпрограмме «d1y», я использовал прямую и обратную формулу конечной разности для вычисления производной на границах и центральной разности для точек, лежащих между двумя границами.Затем я рассчитал относительную ошибку.Я получил ошибку 0,003 на границе оси Y и 0,0015 в точках между границами, как показано на рис. Ниже .

Я вычислил 2-ю производную, используя ту же технику.Подпрограмма приведена ниже:

`subroutine d2y(n1,n2,n3,a,a2)
    implicit none
    integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
    real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h
    pi=3.14159265358979323846d0
    h=4.0d0*pi/(n2-1)
    a2=0.0d0
    i3 =1
      do i1=1,n1
        do i2=1,n2
          if(i2 == 1)then
             a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2+1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+2,i3) - a(i1,i2+3,i3))/(h*h)
          else if( i2 == n2)then
             a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2-1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2-2,i3) - a(i1,i2-3,i3))/(h*h)
          else
             a2(i1,i2,i3)= ( a(i1,i2+1,i3) - 2.0d0*a(i1,i2,i3) + a(i1,i2-1,i3) )/(h*h)
          endif
        enddo
      enddo
   ! enddo 

    end subroutine

Здесь также большая ошибка на границах, на самом деле, ошибка очень велика по сравнению с производной первого порядка, как показано на рисунке: .
Почему такая большая ошибка на границе?Пожалуйста, объясните.

`

Answer 1

Во-первых, я стою исправлено. Имена «Прямая разница» и «Обратная разница» обычно относятся к стандартным формулам 1-го порядка. У вас есть правильный 2-й порядок, формулы односторонней 1-й производной.

Формула прямой разности 2-го порядка, 1-й производной, выводится с помощью выражения ряда Тейлора в x + h и в x + 2h следующим образом:

f (x + h) = f (x) + h * f '(x) + h ^ 2 * f' '(x) / 2! + h ^ 3 * f '' '(x) / 3! ....

f (x + 2h) = f (x) + 2h * f '(x) + 4h ^ 2 * f' '(x) / 2! + 8ч ^ 3 * е '' '(х) / 3! ....

Теперь, возьмите 4 раза 1-ю серию и вычтите 2-ю серию и решите для f '(x). Обратите внимание, что второй производный член исчезает.

f '(x) = 3h / 2 * f (x) - 2 / h * f (x + h) + 1 / (2h) * f (x + 2h) + 0 - 4h ^ 2 * f' '' (х) / 3!

Это формула, которую вы используете, и она с точностью до 2-го порядка. Это не означает, что точность идентична точности центральной разности, только то, что порядок точности одинаков.

Если вы посмотрите на вывод центральной разности, сохранив термин ошибки, вы обнаружите, что термин ошибки выглядит следующим образом:

-h ^ 2 * е '' '(х) / 6

Вы заметили, что член ошибки в формуле прямой разницы имеет перед собой постоянную. В общем, ошибка всегда будет больше. Но это не то, что значит быть точным во втором порядке. Порядок точности показывает, как изменяется ошибка при изменении h.

Например, если вы делите h пополам, вы должны получить точность примерно в 4 раза. Это означает, что в приведенном выше примере ошибка центральной разности будет изменяться от 0,0015 до 0,0004, а погрешность границы - от 0,003 до 0,0008

.

Окончательный вывод: Ваша программа верна, а ваши ошибки верны!