Первичные ключи не могут быть нулевыми, и если вы не установите для них автоматическое приращение, то как MySQL узнает, что вы хотите поместить в таблицу? Вам нужно либо указать идентификатор (возможно, выбрав MAX (P_Id) и добавить к нему 1), либо установить его на автоматическое увеличение.
Хотя простое добавление поля автоинкремента определенно является лучшим подходом, вы можете попробовать что-то вроде этого:
INSERT INTO Persons (P_Id, FirstName, LastName, Address, City)
VALUES ((SELECT MAX(P_Id) + 1 FROM Persons), 'John', 'Smith', 'LA', 'LA');
При этом используется подвыбор, поэтому, если вы используете старую версию MySQL, она может не работать.