Более чистый способ сделать это - создать computed property
:
computed: {
badgeClasses() {
return `badge badge--${this.type}`;
},
},
А затем свяжите это в своем HTML:
<div :class="badgeClasses">
Но вы также можете просто связать свойство, как вы пытались, но с обратной кавычкой вместо простой цитаты:
<div class="`badge badge--${type}`">