Вам нужно добавить ссылку на JQuery, как уже упоминалось, и ваш getElementById имеет неправильный селектор, поэтому не добавляется прослушиватель событий. Удалите # и он будет работать -
document.getElementById("new-quote-btn").addEventListener("click", random_bg_color);
Поскольку вы используете JQuery, вы можете использовать этот код для подключения прослушивателя событий -
$("#new-quote-btn").on("click", function() {
random_bg_color();
});