Вы не можете получить доступ к MySQL из кода, запущенного в браузере.
Вот почему эта попытка вызывает сообщение об ошибке.
Это не связано с Dart, но как работает база данных SQL.
Вам необходимо предоставить REST API или аналогичный на сервере, который перенаправляет запросы и команды в базу данных, запущенную на сервере.
Для этого могут быть использованы серверные структуры Dart, такие как Aqueduct, Angel, Jaguar, Shelf, но сервер не нужно записывать на Dart. Есть много других решений.
Из Angular вы можете получить доступ к REST API с помощью HTTP-запросов.