Ваше правило должно быть таким:
'start_time.*' => 'required'
Я проверил вашу ситуацию с нижеуказанными деталями, и все работало нормально.
просмотр:
<form action="{{ route('test.store') }}" method="post">
{{ csrf_field() }}
<input type="text" name="start_time[]" class="form-control start_time" value="" >
<input type="text" name="start_time[]" class="form-control start_time" value="" >
<button type="submit" class="btn btn-primary">Submit</button>
</form>
@if ($errors->any())
<div class="alert alert-danger">
<ul>
@foreach ($errors->all() as $error)
<li>{{ $error }}</li>
@endforeach
</ul>
</div>
@endif
контроллер:
public function store(Request $request)
{
$request->validate([
'start_time.*' => 'required'
]);
ошибки, когда форма пуста:
The start_time.0 field is required.
The start_time.1 field is required.