Вам нужно добавить use () для доступа к вашей переменной, например:
$search = $request->get('search'); // define it before query
...
->join('franchises', function ($join) use($search) { //use it inside
$join->on('operators.id', '=', 'franchises.operator_id')
->where('case_number', 'like', '%' . $search . '%');
})