Решением, которое помогло, было добавить следующий код в событие CellClick объекта DataGridView.
if (this.dataGridViewName[e.ColumnIndex, e.RowIndex].Value.ToString().StartsWith("http"))
{
Process p = new Process();
p.StartInfo.FileName = Utilities.getDefaultBrowser();
p.StartInfo.Arguments = this.dataGridViewName[e.ColumnIndex, e.RowIndex].Value.ToString();
p.Start();
}
Я получил код для запуска браузера, а также код getDefaultBrowser () из очень полезной статьи здесь