Почему наибольшее представимое число IEEE с плавающей точкой меньше 1 отличается от 1 на половину машинного эпсилона?

Question

Мы можем представить 1.0 как 2 ^ 0 x 1.0, а наибольшее представимое число, меньшее 1.0, как k, где k = 2 ^ 0 x 0.111 ....... 1, усеченный до соответствия.

Тогда разница или ulp для 1,0 - k = 2 ^ 0 x 0,00000 ..... 1.

Разве это не то же самое, что машинный эпсилон, где мы имеем N эпсилон = 2 ^ 0 х 1,000000 .... 1 - 2 ^ 0 х 1000 = = 2 ^ 0 х 0,000 ..... 1?

Почему правильное значение равно половине?

Кроме того, как рассчитать ulp для значений, отличных от 1.0?

Answer 1

Конечное число с плавающей запятой представляется в виде знака (+ или -), фиксированного числа n + 1 цифр d ₀ , d ₋₁ , d _-2 , d _{- n} , в некоторой базе b и показатель степени e так, что представленное число равно знак d ₀ .d _-1 d _-2 … d _{- n} × b ^e . Для этого ответа мы берем знак как + и b как 2.

С этим представлением:

• 1 равно + 1,00… 0 × 2 ⁰ .
• Следующее число больше 1: + 1,00… 1 × 2 ⁰ . Поскольку цифра d _{- n} увеличилась на 1, она превышает 1 на 2 ^{0− n} .
• Следующее число меньше 1: + 1,11… 1 × 2 ⁻¹ . Обратите внимание, что показатель степени уменьшился. Это означает, что ее цифра d _{- n} на самом деле имеет значение 2 ^{-1 - n} . Таким образом, оно отличается от 1 только на 2 ^{-1 - n} , а не на 2 ^{0 - n} .

Для любого обычного числа с плавающей точкой ULP составляет b ^{e - n} . Однако вблизи нижних границ формата с плавающей запятой IEEE 754 имеет ненормальные числа, и ULP ограничивается значением b ^{emin - n} .