find -name "$DAY-log.xml" > listOfFiles.txt
Он рекурсивно найдет нужный вам шаблон, начиная с текущего каталога, и выведет весь результат в файл listOfFiles.txt.
Если вы хотите,Вы даже можете указать начальный путь, например:
find /path/where/to/start -name "$DAY-log.xml" > listOfFiles.txt