Вы можете использовать веб-API IndexedDB: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/IndexedDB_API
Существует пример расширения , которое использует его, хотя использует библиотеку. Возможно, было бы лучше взглянуть на общие с использованием IndexedDB примеров.
Вы, вероятно, хотите объявить "unlimitedStorage" разрешение; в Chrome он снимает ограничение размера в 5 МБ, тогда как в Firefox он, по-видимому, обходит приглашение пользователя .
Обратите внимание, что IndexedDB для каждого источника, поэтому ваши скрипты контента (источником которых технически является страница, на которой они работают) не смогут получить к ней прямой доступ; вам нужно полагаться на Messaging, чтобы фоновая страница «прокси» имела доступ.