Вы можете встроить пользовательские данные JSON в push-уведомление, посмотрите Полезная нагрузка уведомления в документации Apple.
Обновление: я не думаю, что это вполне отвечает на ваш вопрос. Вы можете отправить пустое уведомление, которое приведет к отмене любых предыдущих push-уведомлений (в том числе из других приложений). Я не уверен, получит ли приложение уведомление об этом, когда оно на самом деле работает. Если это так, вы могли бы сделать это в сочетании с пользовательской полезной нагрузкой JSON для достижения того, чего вы хотите?
{"aps": {"badge": 0}}
Вы, наверное, уже знаете это - вы не можете использовать push-уведомление для запуска приложения на iPhone, пока пользователь не увидит всплывающее окно (приложения никогда не могут работать в фоновом режиме на iPhone).
Однако вы можете отобразить другое всплывающее сообщение и включить в уведомление другие данные JSON. Затем, если пользователь нажимает кнопку для запуска приложения («Пуск», или как вы называете кнопку справа), данные JSON передаются в приложение. Ваше приложение может затем выполнить другое действие на основе этих данных.