Нет серверного Java API для локального хранилища.
Но вы можете вызвать JavaScript на стороне клиента, чтобы иметь дело с ним напрямую.
- Денис Анисимов, с GitHub 'билет'
Вы должны будете узнать, как получить доступ к localStorage, используя javascript. В сети есть много учебников, как это сделать, поэтому я не буду объяснять это здесь.
Если вы не знаете, как добавить Javascript к вашему представлению в Vaadin, а затем вызвать его, см. здесь и здесь