Как вписать плавный гистерезис в плохо распределенный набор данных?

Question

Это дополнительный вопрос к Как мне установить плавный гистерезис в R? .Простое применение smooth.spline плохо подходит для моей реальной ситуации, хотя оно доказало полезную общую идею для этого типа проблемы и хорошо сработало с моим набором смоделированных игрушек.

Я загрузил пример моего набора данных здесь .

Следующее изображение создается кодом в конце.

Тистерезис не полностью закрыт, но это не проблема.Применение smooth.spline приводит к слишком грязному выводу (красный).Используя аргумент spar в smooth.spline, я смог получить достаточно плавное приближение (синее) - хотя оно плохо следит за кривой моих точек данных в правом верхнем углу.

Однако, что меня действительно беспокоит"узел" вокруг точек в левом нижнем углу - даже для гладкой кривой (синего цвета) он есть.Он также имеет искусственную «петлю» при перемещении из левого нижнего угла в верхний правый, хотя рядом нет точек данных.

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(tidyr)

exdata <- readRDS("data/example.Rdata")

exdata %<>% 
  mutate(y_smooth = smofun(y),
         x_smooth = smofun(x),
         y_smooth2 = smofun(y, spar = 0.7),
         x_smooth2= smofun(x, spar = 0.7)
         )

ggplot(exdata, mapping = aes(x=x, y=y)) +
  geom_point(alpha = 0.3) +
  geom_path(mapping = aes(x=x_smooth, y=y_smooth), colour = "red") +
  geom_path(mapping = aes(x=x_smooth2, y=y_smooth2), colour = "blue") +
  theme_light()

Answer 1

Как я уже говорил в нашей предыдущей теме: Как мне сгладить сглаженный гистерезис в R? , мы хотим сгладить каждую координату отдельно.

## you have 713 data
plot(1:713, exdata$x); points(1:713, exdata$y)

Обычно я бы использовал smooth.spline для каждого. Он работал хорошо на вашем оригинальном наборе данных игрушек, но не так хорошо на вашем реальном наборе данных, набросанном выше. Непосредственное использование smooth.spline приведет нас к неловкой ситуации, как здесь: R smooth.spline (): сглаживающий сплайн не является гладким, но перегоняет мои данные . Очевидно, что в ваших данных есть две точки изменения, и вам требуется разная степень гладкости / степени свободы в разных сегментах. В связанном тематическом исследовании я смог придумать преобразование, чтобы преодолеть проблему, но здесь я не имею понятия, какое подходящее преобразование я мог бы сделать. Вместо этого я предлагаю, чтобы мы поместили узлы сплайна вручную, чтобы иметь прямой контроль над гладкостью.

smooth.spline не позволяет нам размещать узлы вручную. Вы можете сказать, сколько узлов вы хотите (используя аргумент nknots), и он внутренне размещает узлы по квантили. На самом деле нам не нужно полагаться на smooth.spline. Это просто проблема регрессии. Мы можем сделать это любым методом регрессии, если он вас устраивает. В дальнейшем я использую регрессионные B-сплайны, предоставляемые пакетом splines (один поставляется с R, поэтому не нужно устанавливать) и подгоняю модель, используя обычные наименьшие квадраты (через lm).

library(splines)

test <- function (b1, b2, n1, n2, n3, degree = 1, exdata) {

  x <- exdata$x; y <- exdata$y; t <- 1:length(x)

  ## place knots:
  ## n1 knots on [1, b1)
  ## n2 knots on [b1, b2]
  ## n3 knots on (b3, 713]
  t1 <- seq(1, b1, length = n1 + 1)
  t2 <- seq(b1, b2, length = n2)
  t3 <- seq(b2, 713, length = n3 + 1)
  kt <- c(t1[1:n1], t2, t3[-1])

  kt_inner <- kt[2:(length(kt) - 1)]

  fitx <- lm( x ~ bs(t, degree = degree, knots = kt_inner) )
  fity <- lm( y ~ bs(t, degree = degree, knots = kt_inner) )

  xh <- fitted(fitx); yh <- fitted(fity)

  par(mfrow = c(1, 2))

  plot(t, x, col = 8); points(t, y, col = 8)
  abline(v = kt, lty = 2, col = 8)
  lines(t, xh, lwd = 2); lines(t, yh, lwd = 2)

  plot(x, y, col = 8)
  lines(xh, yh, lwd = 2)

  z <- list(x = xh, y = yh)
  }

Функция тестирования позволяет указать две точки останова b1, b2. Затем на [1, b1) вы хотите n1 узлов, на [b1, b2] вы хотите n2 узлов, а на (b3, 713] вы хотите n3 узлов. Установка degree позволяет нам попробовать линейный сплайн, квадратичный сплайн и кубический сплайн. Функция тестирования выдаст подогнанные сплайны и невидимо вернет сглаженные значения x, y.

После нескольких попыток я обнаружил, что следующее, вероятно, лучше всего:

z <- test(b1 = 90, b2 = 130, n1 = 4, n2 = 5, n3 = 10, degree = 3, exdata)

Здесь не налагается штраф. Но возможна штрафная регрессия с использованием mgcv::gam вместо lm + splines::bs. Пакет mgcv позволяет нам указывать узлы (см .: mgcv: как установить количество и / или расположение узлов для сплайнов ).

Если мы не хотим задавать узлы, мы можем использовать сглаживатель «адаптивный сплайн» в mgcv, который позволяет параметру сглаживания изменяться локально (по сути, он создает набор параметров сглаживания). Это действительно преодолевает ограничение в smooth.spline, когда у вас есть только один параметр сглаживания, который контролирует глобальное наказание.

Обратите внимание, что при сплайн-подходе выбор точек разрыва скрыт при выборе узлов, поскольку точки разрыва находятся среди множества узлов.

Также нет сплайн-методов. Пакет segmented выполняет кусочно-линейную регрессию, автоматически выбирая точки изменения / прерывания (но вы должны заранее указать количество точек прерывания, используя аргумент psi).

Существует много места для сравнения и обсуждения различных методов. В качестве резервной копии для возможного повторного расследования в будущем я прикрепил ваш набор данных здесь (на случай, если ссылка на Dropbox разорвется).

exdata <- структура (список (х = с (129,5695, 131,7681, 111,0764, 104,072, 117,4685, 124.6366, 123.3217, 127.4646, 128.0695, 110.6105, 105.3012, 98.3239, 94,7057, 103,349, 101,5618, 97,0452, 99,2581, 96,869, 87,8457, 89,5727, 101,3341, 103,7006, 100,9025, 101,2322, 107,0066, 99,4793, 101,446, 110,8227, 115,8369, 113,8645, 119,1815, 115,382, 106,6097, 100,0037, 99,4583, 93,7219, 93,5242, 94,6776, 98,66, 92,5156, 99.0487, 99.2332, 97.9979, 98.5008, 99.4881, 96.2035, 99.3862, 108.1677, 107.2952, 107.5039, 109.8523, 107.0338, 98.331, 106.3463, 105,3598, 100,5509, 108,4587, 111,785, 102,911, 104,0221, 103,0966, 96,0376, 95,0978, 92,9253, 94,8009, 96,7117, 101,732, 107,1491, 107.0559, 107.6543, 108.8192, 101.6353, 94.3223, 94.3889, 93.4375, 99,0691, 101,1942, 102,7105, 105,8936, 104,8027, 93,6381, 99,6715,98.8952, 100.2534, 104.2578, 105.9263, 106.0875, 118.8101, 121.278, 117.5301, 121.667, 428.0926, 731.1513, 775.6144, 795.4499, 817.3595, 535.1731, 276.7803, 330.6044, 439.817, 546.267, 868.267, 864, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1964, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 1968, 196852950001088.8355, 1153.1032, 1230.6436, 1262.7867, 1284.1465, 1291.3056, 1282.8526, 1277.1739, 1301.0525, 1300.5524, 1319.1291, 1332.0036, 1339.5618, 1342.3142, 1351.3678, 1355.4577, 1364.5274, 1386.3259, 1388.0149, 1393.6825, 1407.7905, 1410.5657, 1389.9132, 1386.5312, 1376.0732,1371.785, 1375.1907, 1387.2856, 1386.5125, 1387.6686, 1379.9445, 1378.8248, 1363.9721, 1367.6901, 1361.4242, 1355.2429, 1347.776, 1348.4306, 1346.6911, 1352.2614, 1347.23, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.813, 1349.828, 1349, 1331, 1346, 1331.813, 1343.828, 1349, 1331, 1346, 1331.813, 1349, 138, 1346, 1331, 1331, 1333, 1346, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 13831320.4661, 1329.9164, 1326.9096, 1336.5571, 1333.9171, 1330.2649, 1325.3137, 1337.4239, 1333.6401, 1326.0902, 1320.4635, 1309.8197, 1293.1904, 1292.3817, 1281.3893, 1285.0823, 1292.0862, 1294.0099, 1286.4846,1297,9813, 1289,5944, 1286,8668, 1282,2538, 1275,3989, 1273,0393, 1275,9338, 1272,8439, 1270,2929, 1263,9435, 1253,0364, 1247,754, 1250,2937, 1259,3518, 1273,8355, 1286,812, 1233, 1293, 1293, 1293, 1293, 1293, 1293, 1225, 1286, 1286, 1263, 1263, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1299, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1286, 1299, 1286, 1286, 1283, 1225, 1295, 12251247.965, 1253.4547, 1248.2883, 1250.0202, 1251.6438, 1260.2338, 1255.7682, 1252.6586, 1245.6251, 1238.162, 1226.5238, 1233.5413, 1241.1029, 1246.857, 1255.0828, 1254.212, 1254.264, 1254.225, 1254.225, 1254.225, 1254.212, 1254.232, 1254.232, 1254.232, 1254.232, 1254.232, 1254.232, 1254.232, 1254.272, 1254.232, 1254.272, 1254.232, 1254.232, 1254.7001246.4968, 1242.6747, 1232.7555, 1232.7507, 1240.5921, 1235.1443, 1230.6716, 1254.277, 1244.1764, 1236.4669, 1253.6932, 1263.0974, 1248.3615, 1255.2735, 1257.1036, 1251.1, 12.12.212, 1232.212, 1232.232, 1247.232, 1232.232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 12, 1232, 1232, 22, 1232, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 1232,1226.4081, 1215.139, 1215.3999, 1207.859, 1207.6245, 1204.4897, 1212.6945, 1206.7439, 1211.7789, 1211.6164, 1221.6207, 1226.8173, 1224.421, 1223.8749, 1217.5781, 1204.7366, 1192.8738..., 1121.888, 1121.8971, 1122.7738, 1121.3582, 1101.4597, 1101.6568, 1106.9945, 1111.0663, 1109.69, 1123.6524, 1117.9505, 1113.164, 1109.8204, 1112.7482, 1105.8838, 1104.777, 1101.04531102.3828, 1102.1349, 1106.6481, 1114.2183, 1117.4973, 1115.0706, 1105.0425, 1098.5148, 1095.9327, 1091.0444, 1094.8351, 1097.9752, 1102.8526, 1098.7115, 1104.0875, 1100.6438, 1102.7315, 1111.7237, 1107.8745, 1101.8913, 1104.7084, 1105.5634, 1094,34, 1098,789, 1101,8951,1093.274, 1082.6922, 1088.4664, 1088.8069, 1081.3171, 1082.6755, 1081.0162, 1074.4439, 1072.8442, 1082.235, 1090.5553, 1100.5808, 1095.3863, 1098.7245, 1097.1755, 1097.1755, 1092.788, 1088.8881063,9176, 1074,6075, 1068,1074, 1071,7748, 1073,2347, 1081,5981, 1071,6388, 1072,2588, 1064,7244, 1055,2577, 1044,7628, 1040,6255, 1047,1508, 1051,5531, 1050,5133, 1050,71, 1050, 1050, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1072, 1050, 1072, 1072, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 60, 10, 10, 5, 5, 10, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 10, 5, 5, с.1040.4452, 1051.2625, 1064.2338, 1067.7722, 1059.7189, 1065.0454, 1062,3471, 1059,7083, 1055,7133, 1057,4425, 1057,8175, 1052,1135, 1059,3531, 1061,0893, 1071,2829, 1074,8224, 1080,928, 1068,002, 1066,4527, 1065,7902, 1055,8918, 1061,0655, 1067,4548, 1072,0761, 1067,5546, 1065,4401, 1059,5175, 1059,5695, 1059,5596, 1060,4584, 1071.509, 1070.4365, 1071.788, 1066.6481, 1068.2753, 1071.1143, 1066,4912, 1062,6628, 1063,6433, 1069,571, 1056,8887, 1051,489, 1049.311, 1056.0742, 1042.2977, 1041.6723, 1043.9296, 1042.7619, 1032,842, 1042,7006, 1046,3895, 1051,801, 1054,1023, 1059,6545, 1051.8906, 1052.3833, 1055.4235, 1051.0044, 1051.7467, 1051.2107, 1048.6395, 1045.6567, 1049.1911, 1040.2813, 1035.8458, 1028.5641, 1027,469, 1024,5765, 1032,1959, 1039,6526, 1043,0872, 1040,5157, 1035.2799, 1034.5771, 1032.9374, 1037.5497, 1041.925, 1043.5744, 1040,8266, 1041,4861, 1036,9859, 1024,7875, 1020,2694, 1017,749, 1014,9565, 1011,8741, 1015,188, 1018,6312, 1009,4944, 1010,4238, 1016.762, 1018.2838, 1019.6979, 1023.0655, 1014.2412, 1007.8698, 1017.4137, 1019.2012, 1021.8013, 1028.7364, 1023.8553, 1014.1613, 1008.2688, 1012.3865, 1015.5342, 1019.7785, 1016.8026, 1021.4264, 1023.4766, 1015.2452, 1015.9395, 1018.8826, 1016.6993, 1013.6742, 1019,1466, 1021,0248, 1026,475, 1027,4478, 1034,2363, 1032,2496, 1027,5767, 1020,5724, 1019,5044, 1004,9575, 997,7392, 1001,0576, 1005.7048, 1002.3616, 1010.4582, 1015.3163, 1013.507, 1015.5842, 1019,6292, 1018,1884, 1021,1877, 1023,7156, 1025,1062, 1017,3725, 1013.8538, 1009.8373, 1015.0838, 1013.4391, 1010.1612, 1010.2299, 1023,8341, 1011,8823, 1000,5451, 999,6638, 998,7858, 987,4057, 991.3167, 998.9599, 1010.937, 1009.6597, 1003.1149, 1000.5844, 995,7576, 987,0883, 982,2467, 982,1057, 976,0313, 974,0374, 977,333, 985,7118, 985,4352, 989,2399, 994,7814, 994,221, 993,302, 992,1595, 996,3647, 993,8943, 989,4004, 982,9581, 981,9629, 975,3149, 969,5647, 974,4546, 974,6581, 978,4625, 988,9793, 987,0331, 984,4553, 983,4771, 981,7792, 973,0926, 977,8479, 979,0175, 978,1004, 982,4934, 979,1096, 974,0751, 973,6206, 965,2969, 967,768, 971,067, 971,0889, 965,449, 971,4746, 968,8909, 973,6257, 982,4815, 990,0573, 996,3394, 992,512, 990.2399, 979.8613, 972.4607, 970.8262, 974.6505, 972.2212, 972.9647, 983,0908, 974,1946, 965,6558, 959,3316, 956,7886, 943,7902, 948,5879, 963.673, 960.4892, 965.7126, 967.3483, 970.1678, 958.4293, 961.2468, 959,9731, 955,1604, 951,7002, 947,7421, 949,4341, 950,1138, 954,8969, 955.0185, 951.1211, 946.7029, 942.4834, 947.1571, 947.0276, 961.0235, 954,7518, 949,5334, 944,0529, 935,3442, 924,5955, 927,5307, 929,7883, 919.1908, 919.4065, 918.371, 921.3777, 929.4295, 942.7737, 949.4334, 954,6624, 962,7175, 956,2436, 950,7582, 958,6938, 956,3965, 944,6777, 956.2773, 954.0037, 932.8004, 928.7932, 940.8626, 926.6375, 937.3218, 958,6777, 964,0768, 952,0505, 950,5115, 948,4479, 939,3607, 935,7749, 939,6842, 942,3164, 928,0374, 919,9734, 911,6006), у = с (788,1826, 770,943, 757,8363, 745,7519, 763,9224, 784,2032, 788,0772, 801,267, 815,823, 805,0596, 785,733, 791,6119, 783,7698, 777,2689, 776,5628, 783,5034, 797,6054, 797,4178, 788,4994, 793,8253, 793,1876, 787,6427, 783,5845, 799,8222, 792,5408, 800,3527, 795,215, 800,7316, 793,3939, 802.6706, 811.1229, 811.8536, 816.8235, 824.7065, 818.9618, 816.8607, 808.3944, 795.1955, 776.3799, 768.6471, 761.8164, 765.1176, 766.0153, 774,3594, 781,6673, 771,2373, 757,9313, 768,6883, 777,0807, 781,3509, 779,6374, 786,0757, 773,0423, 765,5792, 764,6384, 782,6235, 810,0114, 818,5287, 818,1307, 806,6282, 792,5812, 775,8072, 764,1966, 772,322, 768,9524, 772,9565, 761,8561, 757,6279, 747,5509, 751,0812, 746,2558, 759.4676, 776.8661, 781.1691, 784.5929, 798.0746, 794.1206, 780.7399, 782,6485, 774,5478, 777,8751, 772,2187, 772,5193, 777,3008, 789,0714,778,5812, 792,9143, 813,2369, 814,7838, 819,026, 820,9111, 885,9339, 969,7707, 1003,4679, 1016,2571, 1030,1364, 972,6434, 912,3593, 905,3346, 930,5082, 928,4695, 956,5865, 989,6098, 1031,7731, 1069,3736, 1130,5232, 1170,21, 1199,5514, 1221,1681, 1237,044, 1256.4062, 1270.5876, 1286.3091, 1295.0264, 1313.8072, 1329.798, 1335.5542, 1336.4502, 1343.9396, 1339.8556, 1351.9698, 1362.3803, 1364.7795, 1363.3845, 1371.615, 1361.0672, 1362.2906, 1368.4335, 1374,9839, 1362,5866, 1365,8521, 1366,4755, 1365,9438, 1361,402, 1371.2135, 1375.7353, 1377.5453, 1376.8162, 1381.4736, 1372.2919, 1368.8723, 1368.0455, 1370.7146, 1364.1305, 1377.6213, 1377.9086, 1373.5452, 1369.1427, 1369.201, 1366.1382, 1366.9095, 1372.8983, 1368.8143, 1367.461, 1370.4544, 1371.3131, 1377.6303, 1377.8511, 1381,5674, 1379,2977, 1381,5947, 1361,9709, 1370,2396, 1374,2347, 1366.8974, 1355.6494, 1364.5881, 1349.1647, 1338.2199, 1345.7384, 1361.5699, 1367.6073, 1380.1442, 1395.4343, 1385.6615, 1372.8999, 1370.573, 1370.7435, 1360.4678, 1364.7567, 1359.9372, 1349.8359, 1351.2706, 1365.1294, 1364.0234, 1392.4452, 1401.6108, 1400.6695, 1386.2857, 1388.6885, 1377.9086, 1372.2517, 1371.9156, 1379.2685, 1385.6579, 1373.927, 1371.754, 1368.5747, 1367.0114, 1362.5276, 1363.9995, 1369.0521, 1368.8681, 1384.4765, 1378.8405, 1378.6151, 1382,5593, 1387,9971, 1371,732, 1376,1441, 1380,364, 1378,7928, 1376.712, 1386.9891, 1387.9566, 1379.679, 1377.3374, 1376.1966, 1368.9345, 1368.0102, 1376.1059, 1383.2482, 1378.0472, 1370.8553, 1370.4587, 1375.6658, 1366.2872, 1379.8434, 1390.603, 1395.1468, 1390.2211, 1384.3907, 1374.8753, 1377.2276, 1377.0982, 1371.5311, 1378,3185, 1385,8293, 1381,8495, 1367,9317, 1380,1028, 1379,8653, 1367.4705, 1351.2862, 1363.7038, 1349.9331, 1360.0009, 1361.8892, 1377.0465, 1382.0664, 1380.6035, 1380.4988, 1380.8638, 1372.7751, 1358.9864, 1364.3868, 1357.5578, 1357.5977, 1355.0698, 1358.8151, 1353.26, 1348.2656, 1347.9021, 1343.5709, 1343.5168, 1348.2359, 1354.7574, 1355.4504, 1367.8658, 1370.2762, 1373.4483, 1370.7956, 1363.3388, 1355.879, 1357.7108, 1360.4041, 1360.3489, 1371.9408, 1380.8992, 1377.2768, 1368.4755, 1363.3053, 1366.4712, 1363.8744, 1359.4646, 1360.1674, 1359.3972, 1352.4229, 1349.1245, 1359.1523, 1364.564, 1369.0246, 1374.0508, 1367.073, 1365.7079, 1357.6626, 1353.6916, 1350.7579, 1361.2153, 1349.3483, 1353.3458, 1348.9089, 1343.3174, 1335.4061, 1338.2838, 1334.7667, 1333.3732, 1328.9323, 1330.4992, 1335.2204, 1335.2879, 1339.3959, 1343.8426, 1345.2876, 1354.1573, 1349.1856, 1353.8924, 1359.5196, 1357.9431, 1346.0194, 1357.7789, 1357.2725, 1356.8047, 1353.7432, 1357.8778, 1357.279, 1354.2659, 1357.1141, 1360.9292, 1367.7369, 1372.6273, 1371.5874, 1367.3136, 1369.3025, 1360.0364, 1354.0252, 1353.3615, 1357.2325, 1345.4091, 1340.5862, 1342.8216, 1341.6592, 1334.9786, 1343.5994, 1349.0226, 1339.9034, 1339.8304, 1346.0953, 1339.9869, 1335.315, 1337.3079, 1336.5715, 1340.4444, 1354.2357, 1370.1224, 1378.7307, 1379,9508, 1365,8797, 1356,5842, 1350,4367, 1335,5538, 1344,1722, 1343.9125, 1351.5426, 1348.199, 1360.899, 1359.9313, 1366.1409, 1371.2208, 1379.0304, 1382.5708, 1384.7204, 1383.8992, 1379.1008, 1374.7729, 1359.9191, 1354.1172, 1351.8529, 1349.0833, 1341.5454, 1351.5255, 1350.431, 1356.8146, 1358.7656, 1365.3269, 1364.9431, 1366.631, 1360.4874, 1355.2152, 1358.7005, 1368.2299, 1363.7082, 1370.059, 1376.8738, 1366.2659, 1349.0049, 1366.3064, 1365.0829, 1376,7078, 1388,0081, 1404,1403, 1390,7425, 1395,0293, 1378,9801, 1367.3256, 1362.0991, 1364.6094, 1354.9031, 1353.7332, 1355.2581, 1342.6576, 1348.3014, 1356.1723, 1371.4283, 1367.0735, 1373.578, 1375.9707, 1377.0591, 1374.3822, 1382.0579, 1388.0285, 1383.9064, 1382.0668, 1372.1796, 1378.207, 1378.8784, 1388.2788, 1384.4918, 1393.8804, 1388.6086, 1388.1011, 1370.1213, 1372.6268, 1370.4797,1366.59, 1362.3637, 1377.1559, 1385.4569, 1380.4629, 1388.1607, 1392.9759, 1383.4105, 1379.1023, 1386.516, 1399.0417, 1401.0841, 1394.361, 1386.4877, 1380.187, 1365.364, 1353.86 13 138 136 133 133 136 133 133, 13689386, 1353, 136, 1383, 138, 1383, 1368, 1330, 1368, 1368, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1368, 1368, 1330, 1383, 1368, 1383, 13831390.5029, 1386.8633, 1388.8058, 1381.5241, 1393.0759, 1375.6446, 1365.7619, 1358.0941, 1367.3018, 1350.1741, 1371.0745, 1385.838, 1385.603, 1369.2039, 1376.255, 1384.239, 1383.93, 1383.96, 1383.896, 1383.839, 1383, 136, 1396, 1346, 1346, 1383, 1383, 1363, 1330, 1346, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 138, 1330, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 138, 13, 13, 13, 13, 53, 13, 13, 50, 13, 861388.0211, 1374.9082, 1369.2135, 1378.1975, 1364.6066, 1359.5322, 1354.2922, 1368.703, 1368.5208, 1373.6731, 1383.5117, 1400.3879, 1393.4152, 1378.1168, 1364.1499, 1359.5792, 1353.0026, 1357.5476, 1359.2456, 1369.5849, 1373.1943, 1372.4231, 1362.6516, 1364.0144, 1369.7836,1360,308, 1358.4114, 1355.0507, 1353.5337, 1340.596, 1335.708, 1328.0028, 1330.2829, 1336.832, 1343.4294, 1366.4506, 1375.6982, 1380.9705, 1384.9823, 1382.3623, 1369.2053, 1365.455560,5891, 1347,5065, 1354,8904, 1348,4929, 1348,3129, 1356,0756, 1350,554, 1339,8713, 1346,8866, 1355,5239, 1362,0848, 1375,742, 1378,9397, 1382,7472, 1381,9618, 1385,326, 1381,4118, 1382,4912, 1378,934, 1380,8874, 1368,8742, 1370,4616, 1365,5845, 1369,9524, 1349,8104,1348.22, 1344.7895, 1350.4568, 1344.6752, 1353.1054, 1354.3282, 1352.2624, 1346.3093, 1347.3563, 1346.6762, 1336.3459, 1340.3673, 1348.9338, 1342.7555, 1344.3949, 1342.53, 1333.331, 1333.313, 13333, 1333, 133, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1333, 1331, 1333, 13321336.0047, 1335.4876, 1324.5035, 1321.8359, 1321.1697, 1319.0138, 1315.2431, 1312.5121, 1319.0698, 1309.0632, 1306.31, 1314.4986, 1333.3048, 1330.0146, 1343.4203, 1338.8717, 1338.822, 1331.213.813.313.813.313.813, 1331.813, 1331.813, 1331.813, 1331.813, 1331.813, 1331.813, 1331, 1330, 1330, 1331, 1331, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1330, 1331, 1330, 1330, 1331, 1330, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1331, 1330, 13331335.717, 1352.1948, 1357.4488, 1354.8395, 1350.7415, 1332.5945, 1330.2049, 1329.3497, 1335.0282, 1345.1076, 1354.9056, 1346.7337, 1333.4959, 1325.509, 1314.4949, 1305.2541, 1307.529314.601, 1305.8255, 1308.7152, 1308.4823, 1311.1685, 1318.4754, 1334.7864, 1338.8564, 1347.6072, 1352.0026, 1344.2391, 1331.0977, 1315.0076, 1304.0104, 1293.19, 1293.266, 1293.944, 1292.891, 1292.844.812, 1292.944.91, 1292.844, 1292, 1964, 1292, 1964, 1292, 1940, 1292, 1968, 1292, 1968, 1292, 1968, 1292, 1968, 1292, 1968, 1231, 1968, 1292, 1911, 1232, 1911, 1231, 1968, 1231, 1911, 1231, 1911, 1231, 1911, 1231, 19111302.0391, 1298.9444, 1306.18, 1313.127, 1308.9509, 1308.0279, 1307.2502, 1307.2285, 1293.3291, 1286.8244, 1284.8268, 1293.2011, 1298.7726, 1309.6825, 1317.9792, 1317.9792, 1219, 1295, 1267.872, 1231.872, 1231.872, 1231, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232, 1232.1285,4705, 1274,4266, 1278,2602, 1283,2233, 1292,7671, 1286,6295, 1292,0695, 1288,6732, 1279,073, 1273,5175, 1277,6344, 1281,1536, 1281,6284, 1286,9236, 1292,23, 12,88 1212, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1288, 1299, 1288, 1299, 1299, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1288, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 1282, 12881284.4193, 1286.7726, 1291.7005, 1294.8435, 1296.9812, 1282.5581, 1277.5009, 1287.0079, 1292.9301, 1295.5999, 1306.4875, 1304.3444, 1300.2792, 1305.167, 1307.8903, 1306.3299, 129378.7566, 1274.368, 1245.5256)), row.names = c (NA, -713L), .Names = c ("x", "y"), class = "data.frame") </p>