Одна вещь, которую вы можете сделать, это добавить текущую дату к имени файла:
$file = fopen('contactform-'.date('YmdHis').'.txt', "w");
Кроме того, вы можете добавить файл вместо записи поверх него.
$file = fopen('contactform.txt', "a");
$content = $name. PHP_EOL .$email. PHP_EOL .$message .PHP_EOL.PHP_EOL;
Большинство людей используют для этого базу данных (например, MySQL). Я бы посоветовал узнать, как использовать базы данных, когда у вас будет время.