Это на самом деле проще, чем вы могли ожидать.
Создайте событие CellDoubleClick в вашем DataGridView и вставьте в него следующий код:
private void dataGridView1_CellDoubleClick(object sender, DataGridViewCellEventArgs e) {
dataGridView1.Rows[e.RowIndex].Cells[e.ColumnIndex].Value = Clipboard.GetText();
}