Если всплывающее окно является всплывающим расширением, таким как BrowserAction или pageActioon;у вас должна быть возможность доступа как к локальному хранилищу (веб-API), так и к локальному хранилищу (API-интерфейс WebExtension).
Если всплывающее окно представляет собой всплывающее окно сценария содержимого (создается из сценария содержимого, который вставляется в веб-страницу)), тогда он не будет иметь доступа к вышеуказанному, поскольку он будет находиться в другом домене, чем расширение.