Напишите так:
"Buckets": [
{"Name": "elasticb-east-1-6532860766", "CreationDate": "2014-09-01T16:58:41Z"},
{"Name": "elasticbeanstalk-860766", "CreationDate": "2015-10-06T00:24:57Z"},
{"Name": "elasticbeansta", "CreationDate": "2015-10-02T17:37:19Z"}
]
<Menu>
{
this.state.Buckets.map((el,i) => (<MenuItem key={i} primaryText={el.Name} />))
}
</Menu>
Предполагается, что вы сохраните значения сегмента в переменной состояния.