Полагаю, первое предположение должно состоять в том, что пользователь Gmail должен был войти в систему на веб-сайте Gmail в том же браузере и без перезагрузки компьютера, другими словами, файл cookie gmail должен быть активным и должен сообщать gmail, кто является зарегистрированным пользователем. у пользователя.
Затем вы можете написать javascript для загрузки http://mail.google.com в некоторый скрытый iframe и взять его дескриптор документа, чтобы исследовать DOM этой страницы и найти любую жирную строку в таблице входящих (это очень просто сказать, но определенно быть сложным в выполнении)