Используйте этот код: (здесь вам не нужна кнопка для сохранения ввода в состоянии, он автоматически сохраняет данные в состоянии)
constructor(props) {
super(props);
this.state = {
data: "",
}
<TextInput onChangeText={(text)=>{this.setState({data: text})}} />