Я думаю, вам нужно дать нам больше разъяснений, вам больше не нужна переменная, если это так, просто сделайте это
button.setOnAction(e -> {
loggedInchecker.check(user, pass, correctPassword, correctUsername);
});
Но если вам нужна переменная, все равно поместите private boolean loggedIn
на вершину, где вы объявляете свои переменные, и в вашей программе сделайте это
button.setOnAction(e -> {
loggedIn = loggedInchecker.check(user, pass, correctPassword, correctUsername);
});