Я думаю, что нет альтернативного метода для перемещения RG. В качестве обходного пути вы можете попытаться загрузить сценарий автоматизации (шаблон ARM) для своей группы ресурсов, удалить RG и развернуть шаблон в новой подписке. Но это работает только для сервисов, которые используют Resource Manager (не Service Manager).
Кроме того, это только создает службы / инфраструктуру, но вам, вероятно, придется повторно развернуть контент, углубляясь в какие ресурсы вы используете.