Метод схождения Ньютона не работает

Question

Я пытаюсь приблизить корень многочлена, используя метод Ньютона-Рафсона. Код, который я написал, выглядит следующим образом:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main (){

double c, nq, nnq, nnnq, v, h, q, o;

o=2;
c=-0.55;
nq=-0.04625;
nnq=-0.55;
nnnq=1;

   while(fabs(c-v) > 0.000001)
   {
      nq=((2*(o-1)+1)*(c)*(nnq)-(o-1)*nnnq)/((o-1)+1);                                                     
      q=(-o*c*nq+o*nnq)/(1-(c*c));
      h=(c-(nq/q));
      printf("The better root is %.15lf\n",h);
      v=c;
      c=h;
   }

}

Я знаю, что нет необходимости записывать переменные o, c, nq и т. Д. Sin, я мог бы просто использовать их точные значения. Это часть более крупной проблемы, и мне нужны эти переменные, поэтому игнорируйте это.

Эта программа выводит это:

The better root is -0.578030303030303
The better root is -0.591696792857493
The better root is -0.598609887802599
The better root is -0.602171714355970
The better root is -0.604024260228500
The better root is -0.604992519745332
The better root is -0.605499890229896
The better root is -0.605766110042157
The better root is -0.605905895095070
The better root is -0.605979319651017
The better root is -0.606017894664121
The better root is -0.606038162857992
The better root is -0.606048812800124
The better root is -0.606054408979837
The better root is -0.606057349623975
The better root is -0.606058894866533
The better root is -0.606059706860161

Когда вместо этого он должен сходиться к точке -0.57735026918963. Я знаю, что Ньютон-Рафсон точно сходится, поэтому ошибка должна быть в коде. Я также пытался локализовать проблему с помощью printf, и я думаю, что проблема возникает во второй итерации. Я думаю, что программа не может правильно рассчитать nq, но я не знаю почему.

Answer 1

Вместо того, чтобы просто вычислять x = sqrt(1.0/3), вы хотите включить рекурсивную оценку полиномов Лежандра до порядка o, возможно, чтобы позже расширить метод до значений o больше 2. Итерация

P(0,c) = 1; P(1,c) = c;
(n+1)*P(n+1,c) = (2*n+1)*c*P(n,c) - n*P(n-1,c),   n=1, ... , o-1

и производная может быть вычислена как

(1-c^2)*P'(o,c) = -n*c*P(o,x) + n*P(o-1,c).

Эту итерацию необходимо включить в цикл Ньютона, в идеальном случае использовать объект для полинома Лежандра с методами для значения и производной. Я изменил вашу структуру для работы в JavaScript:

var my_div = document.getElementById("my_div");
var c = -0.55;
var v = -20;
var o = 2;
while( Math.abs(v-c) > 1e-12 ) {
    p0 = 1; 
    p1 = c;
    for(n=1; n<o; n++) {
        // p0, p1, p2 stand for P(n-1,c), P(n,c), P(n+1,c)
        p2 = ((2*n+1)*c*p1 - n*p0) / (n+1)
        p0 = p1; p1 = p2;
    }
    // p0, p1 now contain p(o-1,x), p(o,x)
    p1prime = ( -o*c*p1 + o*p0) / (1-c*c);
    h = c - p1/p1prime;
    my_div.innerHTML += "<p>The better root is "+h+"</p>";
    v = c; c = h;
 }

<div id="my_div"></div>

Answer 2

Это метод Ньютона для вашего уравнения (это быстрый код, не проверяйте имя переменной):

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main ()
{    
    double s = 2.0, fx = 0, dfx = 0, p = 0;

    while(fabs(s - p) > 0.000001)
    {
        fx = 0.5 * (3 * s * s - 1);
        dfx = 3 * s;
        p = s;
        s = s - (fx / dfx);
        printf("The better root is %.15lf\n", s);
    }    
    return 0;
}

, и он сходится к 0.577350269189626.Ваша проблема в том, что вы пытаетесь рассчитать 2 рекурсии одновременно.Кстати, в своем вопросе вы сказали, что хотите вычислить «корень многочлена».Я не понял, что вы имели в виду.Если под корнем вы подразумеваете квадратный корень уравнения, вам необходимо обновить этот код и соответственно изменить fx и dfx.