Пазл с геометрической последовательностью

Question

Следующая проблема озадачивала меня пару дней (примечание: это не домашняя работа).

Существует две геометрические последовательности, сумма которых равна 9. Значение их второго слагаемого (t2) равно 2.

1. Найти общее соотношение (r)
2. Найдите первый элемент (t1) каждого

Ответы на (1) составляют 2/3 и 1/3, а ответы на (2) - 3 и 6 соответственно. К сожалению, я не могу понять, как они были получены.

В решении (1) я попытался применить алгебраическую замену для решения для r следующим образом:

t2 = t1*r; since t2 = 2 we have:
t1 = 2/r

Уравнение для вычисления суммы (S) последовательности, сходящейся к пределу, определяется как:

S  = t1 / (1 - r)

Итак, я попытался вставить свое значение t1 в S и решить для r следующим образом:

9 = (2/r) / (1-r)
9(1-r) = 2/r
2/9 = r(1-r)

К сожалению, с этого момента я застреваю. Мне нужно устранить один из трюков, но я не могу этого сделать.

Далее я решил решить для r, используя формулу, которая суммирует первые 2 слагаемых (S2) последовательности:

S2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)
t1 + 2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)

но, расширив это, я снова столкнулся с той же проблемой (не могу устранить одну из r).

Итак, у меня есть 2 вопроса:

1. Что я делаю не так при выводе r?
2. Как только я получу одно из его значений, как получить другое?

Answer 1

2/9 = r(1-r)

К сожалению, с этого момента я получаю застрял. Мне нужно устранить один из но я не могу этого сделать.

Вам нужно научиться факторизовать!

2/9 = r(1-r)
2/9 = r - r^2
2 = 9r - 9r^2
9r^2 - 9r + 2 = 0
(3r)^2 - 3(3r) + 2 = 0

чтобы было проще, пусть R = 3r

R^2 - 3R + 2 = 0
(R - 1)(R - 2) = 0

so 3r - 1 = 0, or 3r - 2 = 0
i.e. r = 1/3 or r = 2/3.

И ваш первый член 2 / (1/3) = 6, или 2 / (2/3) = 3

QED!

Answer 2

2/9 = r (1 - r )

Перепишите это как ax ² + bx + c и используйте квадратную формулу для ее решения:

2/9 = r - r ²
r ² - r + 2/9 = 0

Используя квадратную формулу, корни:
[-1 & # x00B1; & # x221A; (1 - 8/9)] / 2
= (1 & # x00B1; 1/3) / 2
= 1/2 & # x00B1; 1/6 * * тысяча тридцать-семь = 1/3 или 2/3

Редактировать: Ох, я потратил слишком много времени на то, чтобы понять, как писать плюс / минус и квадратный корень. : -Р