В итоге проблема заключалась в том, что сервер, с которого я делал запрос, был неправильно настроен. Потому что с моей стороны на сайте был установлен ssl, и ему нужно было выполнить ssl-рукопожатие с сервером LinkedIn.
LinkedIn сделан на Java, и у Java более строгие правила проверки рукопожатия. Поскольку из-за настроек моего сервера имя хоста для ssl не было правильно передано LinkedIn, сервер не проверил ssl и, следовательно, не смог подключиться к нашему серверу и получить ответ. Это заканчивается неизвестной ошибкой в конце сайта LinkedIn.