То, что вы спрашиваете, строго невозможно. Даже если бы вы могли получить два cookie-файла на , выглядящих одинаковыми, они были бы зашифрованы по-разному, так что один сайт не сможет прочитать cookie-файл, установленный другим.
Тем не менее технически существует возможность совместного использования файлов cookie между ASP.NET Core и ASP.NET MVC. Однако для этого требуется, чтобы проект ASP.NET MVC переключился на использование API защиты данных, а не на шифрование старой школы machineKey. Документы ASP.NET Core содержат дополнительную информацию .
Но даже при этом он не будет работать с FormsAuth (который использует членство в ASP.NET). Вам также необходимо обновить ваш проект MVC, чтобы использовать ASP.NET Identity. Опять же, обратитесь к документации.