Вам нужно определить переменную вне события, затем назначить экземпляр, по которому щелкнули, переменной внутри него, например:
$(function() {
var clickedbtn;
$('button').click(function() {
clickedbtn = $(this);
var sliderDisplay = clickedbtn.closest('.container-destination').find('.slider-display');
if ( sliderDisplay.hasClass('open') ) {
alert('it is open already');
} else if ( sliderDisplay.hasClass('closed') ) {
alert('it is closed');
$('.slider-display.open').slideUp().addClass('closed').removeClass('open');
sliderDisplay.addClass('open').slideDown();
}
});
});