Python: Как получить свертку двух непрерывных распределений?

Question

Пусть X, Y - 2 случайные величины с функциями плотности вероятности pdf1 и pdf2.

Z = X + Y

Тогда функция плотности вероятности Z задается сверткой pdf1 и pdf2.Поскольку мы не можем иметь дело с непрерывными распределениями, мы описываем непрерывные распределения и разбираемся с ними.

Чтобы найти свертку равномерного и нормального распределения, я придумал следующий код.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from scipy import signal


uniform_dist = stats.uniform(loc=2, scale=3)
std = 0.25
normal_dist = stats.norm(loc=0, scale=std)

delta = 1e-4
big_grid = np.arange(-10,10,delta)

pdf1 = uniform_dist.pdf(big_grid)
print("Integral over uniform pdf: "+str(np.trapz(pdf1, big_grid)))

pdf2 = normal_dist.pdf(big_grid)
print("Integral over normal pdf: "+str(np.trapz(pdf2, big_grid)))


conv_pdf = signal.fftconvolve(pdf1,pdf2,'same')
print("Integral over convoluted pdf: "+str(np.trapz(conv_pdf, big_grid)))

plt.plot(big_grid,pdf1, label='Tophat')
plt.plot(big_grid,pdf2, label='Gaussian error')
plt.plot(big_grid,conv_pdf, label='Sum')
plt.legend(loc='best'), plt.suptitle('PDFs')
plt.show() 

Это вывод, который я получаю.

Интеграл по униформе pdf: 0.9999999999976696

Интеграл по нормальному pdf: 1.0

Интеграл по запутанному pdf: 10000.0

Если свертка была правильной, я должен получить значение, близкое к 1, для «Интегральный над извитым pdf»Так что здесь не так?Есть ли лучший подход для решения этой проблемы?

Спасибо

Answer 1

Перед сверткой вы должны описать свой pdf в функции вероятности.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from scipy import signal


uniform_dist = stats.uniform(loc=2, scale=3)
std = 0.25
normal_dist = stats.norm(loc=0, scale=std)

delta = 1e-4
big_grid = np.arange(-10,10,delta)

pmf1 = uniform_dist.pdf(big_grid)*delta
print("Sum of uniform pmf: "+str(sum(pmf1)))

pmf2 = normal_dist.pdf(big_grid)*delta
print("Sum of normal pmf: "+str(sum(pmf2)))


conv_pmf = signal.fftconvolve(pmf1,pmf2,'same')
print("Sum of convoluted pmf: "+str(sum(conv_pmf)))

pdf1 = pmf1/delta
pdf2 = pmf2/delta
conv_pdf = conv_pmf/delta
print("Integration of convoluted pdf: " + str(np.trapz(conv_pdf, big_grid)))


plt.plot(big_grid,pdf1, label='Uniform')
plt.plot(big_grid,pdf2, label='Gaussian')
plt.plot(big_grid,conv_pdf, label='Sum')
plt.legend(loc='best'), plt.suptitle('PDFs')
plt.show()

Answer 2

Помимо дискретизации, в настоящее время это представляется невозможным для непрерывных распределений scipy.stats, поскольку свертка приводит к появлению уникальных распределений.Если одна функция плотности гауссова, а другая равномерна, их свертка является «размытой гауссовой».Это не является ни гауссовым, ни равномерным.

Однако, есть несколько полезных частных случаев.Например, если вы имеете дело с нормальными распределениями, свертка двух независимых распределений также будет нормальной.

Только одна деталь, не подчеркнутая в вашем вопросе - формула свертки имеет место только в том случае, если X и Y независимы.

Answer 3

Чтобы это работало с дискретизированными PDF-файлами, вам нужно нормализовать вывод fftconvolve:

conv_pdf = signal.fftconvolve(pdf1, pdf2, 'same') * delta

Обратите внимание, что fftconvolve не может сделать это сам по себе, так как он не знает фактических PDF, только значения.