Эмуляция непрямоугольных массивов

Question

Часто требуется, чтобы производительность массивов по связанным спискам не соответствовала требованию иметь прямоугольные массивы.

В качестве примера рассмотрим гексагональную сетку, показанную здесь с соседями с 1 расстоянием ячейки (3, 3) в среднем сером и с соседями 2 расстояния в светло-сером. Скажем, нам нужен массив, который содержит для каждой ячейки индексы каждого соседа на 1 и 2 расстояния для этой ячейки. Одна небольшая проблема заключается в том, что ячейки имеют различное количество соседей по расстоянию Х - ячейки на границе сетки будут иметь меньше соседей, чем ячейки, расположенные ближе к центру сетки.

(Мы хотим получить массив индексов соседей --- вместо функции от координат ячейки до индексов соседей --- из соображений производительности.)

Мы можем обойти эту проблему, отслеживая количество соседей в каждой ячейке. Скажем, у вас есть массив neighbors2 размера R x C x N x 2, где R - количество строк сетки, C для столбцов и N - максимальное количество соседей с двумя расстояниями для любой ячейки в сетке. Затем, сохраняя дополнительный массив n_neighbors2 размера R x C, мы можем отслеживать, какие индексы в neighbors2 заполнены, а какие просто заполнены нулями. Например, чтобы получить соседей ячейки с двумя расстояниями (2, 5), мы просто индексируем массив таким образом:

someNeigh = neighbors2[2, 5, 0..n_neighbors2[2, 5], ..]

someNeigh будет n_neighbors2[2, 5] x 2 массивом (или представлением) указателей, где someNeigh[0, 0] возвращает строку первого соседа, а someNeigh[0, 1] - столбец первого соседа и так далее. Обратите внимание, что элементы в позициях

neighbors2[2, 5, n_neighbors2[2, 5]+1.., ..]

не имеют значения; это пространство просто заполнение, чтобы матрица оставалась прямоугольной.

При условии, что у нас есть функция для нахождения соседей d-расстояния для любой ячейки:

import           Data.Bits (shift)
rows, cols = (7, 7)
type Cell = (Int, Int)

generateNeighs :: Int -> Cell -> [Cell]
generateNeighs d cell1 = [ (row2, col2)
                            | row2 <- [0..rows-1]
                            , col2 <- [0..cols-1]
                            , hexDistance cell1 (row2, col2) == d]

hexDistance :: Cell -> Cell -> Int
hexDistance (r1, c1) (r2, c2) = shift (abs rd + abs (rd + cd) + abs cd) (-1)
  where
    rd = r1 - r2
    cd = c1 - c2

Как мы можем создать вышеупомянутые массивы neighbors2 и n_neighbors2? Предположим, что мы знаем максимальное количество соседей с двумя расстояниями N заранее. Затем можно изменить generateNeighs, чтобы он всегда возвращал списки одинакового размера, так как оставшиеся записи можно заполнить (0, 0). Это оставляет, на мой взгляд, две проблемы:

• Нам нужна функция для заполнения neighbors2, которая работает не с каждым отдельным индексом, а с срезом, в нашем случае она должна заполнять одну ячейку за раз.
• n_neighbors2 должен быть заполнен одновременно как neighbors2

Решение приветствуется с массивами repa или accelerate.

Answer 1

Вот ваша картинка с перекосом на 30 градусов вправо:

Как видите, ваш массив на самом деле совершенно прямоугольный.

Индексы периферии района легко найти в виде шести прямых частей вокруг выбранной центральной ячейки, например, (представьте, n == 2 - расстояние периферии от центра (i,j) == (3,3) на рисунке):

periphery n (i,j) = 
   --     2 (3,3)
  let 
    ((i1,j1):ps1) = reverse . take (n+1) . iterate (\(i,j)->(i,j+1)) $ (i-n,j) 
    --                                                                 ( 1, 3)
    ((i2,j2):ps2) = reverse . take (n+1) . iterate (\(i,j)->(i+1,j)) $ (i1,j1) 
    --                                                                 ( 1, 5)
    .....
    ps6           = .......                                          $ (i5,j5)
  in filter isValid (ps6 ++ ... ++ ps2 ++ ps1)

Весь район просто

neighborhood n (i,j) = (i,j) : concat [ periphery k (i,j) | k <- [1..n] ]

Для каждой комбинации ячейка / расстояние просто сгенерируйте индексы окрестности на лету и получите доступ к вашему массиву за O (1) времени для каждой пары индексов.

Answer 2

Полное выписывание ответа от @WillNess и включение предложения от @leftroundabout вместо сохранения индексов в одномерном векторе, и мы получаем это:

import qualified Data.Array.Accelerate as A
import Data.Array.Accelerate (Acc, Array, DIM1, DIM2, DIM3, Z(..), (:.)(..), (!), fromList, use)

rows = 7
cols = 7

type Cell = (Int, Int)

(neighs, nNeighs) = generateNeighs

-- Return a vector of indices of cells at distance 'd' or less from the given cell
getNeighs :: Int -> Cell -> Acc (Array DIM1 Cell)
getNeighs d (r,c) = A.take n $ A.drop start neighs
  where
    start = nNeighs ! A.constant (Z :. r :. c :. 0)
    n = nNeighs ! A.constant (Z :. r :. c :. d)

generateNeighs :: (Acc (Array DIM1 Cell), Acc (Array DIM3 Int))
generateNeighs = (neighsArr, nNeighsArr)
  where
    idxs = concat [[(r, c) | c <- [0..cols-1]] | r <- [0..rows-1]]
    (neighsLi, nNeighsLi, n) = foldl inner ([], [], 0) idxs
    neighsArr = use $ fromList (Z :. n) neighsLi
    nNeighsArr = use $ fromList (Z :. rows :. cols :. 5) nNeighsLi
    inner (neighs', nNeighs', n') idx = (neighs' ++ cellNeighs, nNeighs'', n'')
      where
        (cellNeighs, cellNNeighs) = neighborhood idx
        n'' = n' + length cellNeighs
        nNeighs'' = nNeighs' ++ n' : cellNNeighs

neighborhood :: Cell -> ([Cell], [Int])
neighborhood (r,c) = (neighs, nNeighs)
  where
    neighsO = [ periphery d (r,c) | d <- [1..4] ]
    neighs = (r,c) : concat neighsO
    nNeighs = tail $ scanl (+) 1 $ map length neighsO

periphery d (r,c) =
  -- The set of d-distance neighbors form a hexagon shape. Traverse each of
  -- the sides of this hexagon and gather up the cell indices.
  let 
    ps1 = take d . iterate (\(r,c)->(r,c+1))   $ (r-d,c)
    ps2 = take d . iterate (\(r,c)->(r+1,c))   $ (r-d,c+d)
    ps3 = take d . iterate (\(r,c)->(r+1,c-1)) $ (r,c+d)
    ps4 = take d . iterate (\(r,c)->(r,c-1))   $ (r+d,c)
    ps5 = take d . iterate (\(r,c)->(r-1,c))   $ (r+d,c-d)
    ps6 = take d . iterate (\(r,c)->(r-1,c+1)) $ (r,c-d)
  in filter isValid (ps6 ++ ps5 ++ ps4 ++ ps3 ++ ps2 ++ ps1)


isValid :: Cell -> Bool
isValid (r, c)
  | r < 0 || r >= rows = False
  | c < 0 || c >= cols = False
  | otherwise = True

Answer 3

Это можно сделать с помощью функции permute , чтобы заполнить соседей на 1 ячейку за раз.

import Data.Bits (shift)
import Data.Array.Accelerate as A
import qualified Prelude as P
import Prelude hiding ((++), (==))

rows = 7
cols = 7
channels = 70

type Cell = (Int, Int)

(neighs, nNeighs) = fillNeighs

getNeighs :: Cell -> Acc (Array DIM1 Cell)
getNeighs (r, c) = A.take (nNeighs ! sh1) $ slice neighs sh2
  where
    sh1 = constant (Z :. r :. c)
    sh2 = constant (Z :. r :. c :. All)

fillNeighs :: (Acc (Array DIM3 Cell), Acc (Array DIM2 Int))
fillNeighs = (neighs2, nNeighs2)
  where
    sh = constant (Z :. rows :. cols :. 18) :: Exp DIM3
    neighZeros = fill sh (lift (0 :: Int, 0 :: Int)) :: Acc (Array DIM3 Cell)
    -- nNeighZeros = fill (constant (Z :. rows :. cols)) 0 :: Acc (Array DIM2 Int)
    (neighs2, nNeighs2li) = foldr inner (neighZeros, []) indices
    nNeighs2 = use $ fromList (Z :. rows :. cols) nNeighs2li
    -- Generate indices by varying column fastest. This assures that fromList, which fills
    -- the array in row-major order, gets nNeighs in the correct order.
    indices = foldr (\r acc -> foldr (\c acc2 -> (r, c):acc2 ) acc [0..cols-1]) [] [0..rows-1]
    inner :: Cell
      -> (Acc (Array DIM3 Cell), [Int])
      -> (Acc (Array DIM3 Cell), [Int])
    inner cell (neighs, nNeighs) = (newNeighs, n : nNeighs)
      where
        (newNeighs, n) = fillCell cell neighs


-- Given an cell and a 3D array to contain cell neighbors,
-- fill in the neighbors for the given cell
-- and return the number of neighbors filled in
fillCell :: Cell -> Acc (Array DIM3 Cell) -> (Acc (Array DIM3 Cell), Int)
fillCell (r, c) arr = (permute const arr indcomb neighs2arr, nNeighs)
  where
    (ra, ca) = (lift r, lift c) :: (Exp Int, Exp Int)
    neighs2li = generateNeighs 2 (r, c)
    nNeighs = P.length neighs2li
    neighs2arr = use $ fromList (Z :. nNeighs) neighs2li
    -- Traverse the 3rd dimension of the given cell
    indcomb :: Exp DIM1 -> Exp DIM3
    indcomb nsh = index3 ra ca (unindex1 nsh)


generateNeighs :: Int -> Cell -> [Cell]
generateNeighs d cell1 = [ (row2, col2)
                            | row2 <- [0..rows]
                            , col2 <- [0..cols]
                            , hexDistance cell1 (row2, col2) P.== d]


-- Manhattan distance between two cells in an hexagonal grid with an axial coordinate system
hexDistance :: Cell -> Cell -> Int
hexDistance (r1, c1) (r2, c2) = shift (abs rd + abs (rd + cd) + abs cd) (-1)
  where
    rd = r1 - r2
    cd = c1 - c2