Сетка / решетка / матрица эллипса

Question

Я, вероятно, использую неправильные термины, но ищу какую-то помощь.

Я хотел бы создать массив значений x, y для сетки, которая находится в периметре формы эллипса.

Здесь есть код: http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/c_src/ellipse_grid/ellipse_grid.html для выполнения этого в Python.

Однако, для моей цели, эллипсы были повернуты в определенной степени. Текущее уравнение не учитывает это и нуждается в некоторой помощи для учета этого преобразования, не знаете, как изменить код для этого?

Я также изучил функцию np.meshrid, поэтому, если есть более эффективные способы сделать это, скажите, пожалуйста.

Большое спасибо.

Answer 1

Учитывая эллипс в евклидовой плоскости в его наиболее общем виде в виде квадратичной кривой в виде

f(x,y) = a x^2 + 2b x y + c y^2 + 2d x + 2f y + g,

, можно вычислить центр (x0,y0) по

((cd-bf)/(b^2-ac), (af-bd)/(b^2-ac)) 

(см.уравнения 19 и 20 в Эллипс на MathWorld ).Длина большой оси a_m может быть рассчитана по уравнению 21. На этой же странице можно указать уравнение 21.

Теперь достаточно найти все точки сетки (x,y) внутри круга с центром (x0,y0) и радиусом a_m.с

sign(f(x,y)) = sign(f(x0,y0)).

Answer 2

Чтобы создать точки решетки внутри эллипса, мы должны знать, где горизонтальная линия пересекает этот эллипс.

Уравнение эллипса с нулевым центром, повернутое на угол Theta:

 x = a * Cos(t) * Cos(theta) - b * Sin(t) * Sin(theta)   
 y = a * Cos(t) * Sin(theta) + b * Sin(t) * Cos(theta)

Для упрощенияВ расчетах мы можем ввести псевдокруг Fi и величину M (константы для данного эллипса)

 Fi = atan2(a * Sin(theta), b * Cos(theta))
 M = Sqrt((a * Sin(theta))^2 + (b * Cos(theta))^2)

, поэтому

 y = M * Sin(Fi) * Cos(t) + M * Cos(Fi) * Sin(t)
 y/M = Sin(Fi) * Cos(t) +  Cos(Fi) * Sin(t)
 y/M = Sin(Fi + t) 

, а решение для данной горизонтальной линии в положении y равно

 Fi + t = ArcSin( y / M)
 Fi + t = Pi - ArcSin( y / M)
 t1 = ArcSin( y / M) - Fi        //note two values
 t2 = Pi - ArcSin( y / M) - Fi

Замените оба значения t в первом уравнении и получите значения X для заданного Y, а также сгенерируйте одну последовательность точек решетки

Чтобы получить верхнюю и нижнюю координаты, дифференцируйте y

y' = M * Cos(Fi + t) = 0
th = Pi/2 - Fi
tl = -Pi/2 - Fi

найти соответствующие y и использовать их в качестве начальной и конечной Y-координат для линий.

import math

def ellipselattice(cx, cy, a, b, theta):
    res = []
    at = a * math.sin(theta)
    bt = b * math.cos(theta)
    Fi = math.atan2(at, bt)
    M = math.hypot(at, bt)
    ta = math.pi/2 - Fi
    tb = -math.pi/2 - Fi
    y0 = at * math.cos(ta) + bt *math.sin(ta)
    y1 = at * math.cos(tb) + bt *math.sin(tb)
    y0, y1 = math.ceil(cy + min(y0, y1)), math.floor(cy + max(y0, y1))
    for y  in range(y0, y1+1):
        t1 = math.asin(y / M) - Fi
        t2 = math.pi - math.asin(y / M) - Fi
        x1 = a * math.cos(t1) * math.cos(theta) - b* math.sin(t1) * math.sin(theta)
        x2 = a * math.cos(t2) * math.cos(theta) - b* math.sin(t2) * math.sin(theta)
        x1, x2 = math.ceil(cx + min(x1, x2)), math.floor(cx + max(x1, x2))
        line = [(x, y) for x in range(x1, x2 + 1)]
        res.append(line)
    return res

print(ellipselattice(0, 0, 4, 3, math.pi / 4))