Вы можете создать файл журнала как root, а затем сменить владельца на пользователя, ваш скрипт запускается как
# touch /var/log/mylogfile
# chown myuser /var/log/mylogfile
где mylogfile - ваш файл журнала, а myuser - пользователь, скрипт будет запускаться как
также посмотрите в logrotate