Синхронные API, такие как localStorage, XHR, а также DOM недоступны для работника сервиса.
Для хранения вам нужно будет использовать IndexedDB. Это не самый простой API для непосредственного использования. Вместо этого я рекомендую библиотеку, которая может сделать ее такой же простой в использовании, как localStorage.
Мне нравится localForage, https://localforage.github.io/localForage/