Вы положили
protected $except = [
'Api/*'
];
в вашем VerifyCsrfToken.php
файле? Насколько я знаю, API обычно используют токены для аутентификации пользователей и не поддерживают состояние сеанса между запросами. Так что попробуйте это и проверьте свои заголовки и тело для запроса поста API.