Аппроксимация площади под кривой с помощью суммы Римана с использованием петель

Question

Так что, как говорится в названии, я сейчас работаю над лабораторным заданием для оценки интеграла e^(sin(t)). Часть предоставленного кода, которую я пытаюсь завершить, - это цикл for.

Что у меня до сих пор

### Setting Up the Problem ###
a <- 0                                       ## Lower Bound of t.
b <-10                                       ## Upper Bound of t.
n <-  5                                      ## Number of Intervals.
dFdt <- function(t){exp(sin(t))          }   ## What function we are trying to estimate the antiderivative?
UnitIntervalLength<-((b-a)/n)                ## What is the length 
of each interval in terms of a, b and n?


### Plot the Function
t <- seq(a,b,.01)                            ## Set the t-axis to visualize.
plot(t, dFdt(t), type="l")                   ## Plot the function dFdt at given interval 't', DO NOT FORGET TYPE='L'.

### Use R built-in function 'for' to start the recursive evaluation of the dfdt at either left end, right end or 
### midpoint depends on the method you are using.
Sum <- 0                                     ## Start with a sum of zero.

for(i in 1:n){
  t0 <-a+(i-1)*UnitIntervalLength            ## t0 is the left end of the i-th interval
  t1 <-t0+i                                  ## t1 is the right end of the i-th interval
  Eval_i <- dFdt(t)                          ## Evaluate function at either left end, right end or midpoint.
  Area_i =UnitIntervalLength*t               ## Area of the current box i, which is calculated as length*width
  ## Will Discuss the Following Blank in Lab
  Sum <-1:n                                  ## Add this value to previous 
  sum to keep track of the current sum.

  ## Here is the Plot of Each Box (No Need to Change the Following)
  segments(x0=t0,x1=t1,y0=Eval_i)        
  segments(y0=0,y1=Eval_i,x0=t1)
  polygon(c(t0,t1,t1,t0),c(0,0,Eval_i,Eval_i),col=i,density=45)
}


### Display the Final result on the Title of the Plot.
title(main=paste("The Integral is Approximately ",round(Sum,3), sep=""))

То, что я пытался и сделал

Я заполнил все части и установил уравнения, но я считаю, что проблема заключается в моем t1 и моем Eval_i. Я думаю о t1, что i-й интервал должен быть установлен от +1 до t0, который является левой точкой каждого интервала. Для Eval_i я думал, что это просто функция, которую я пытаюсь оценить.

Так что мне интересно, происходят ли мои разъединения раньше, или эти две переменные являются моими единственными проблемами.

редактировать После многих проб и ошибок мне удалось найти решение этой проблемы. Было несколько проблем, связанных с моим определением различных переменных в цикле for.

t0 <-a+(i-1)*UnitIntervalLength
t1 <-a+i*UnitIntervalLength
Eval_i <- ((dFdt(t0)+dFdt(t1))/2)
Area_i =dFdt(t)*(t1-t0)
Sum<- Area_i+Sum