Поскольку вы храните ее как строку в определенном формате, вы можете достичь этого примерно так:
$start = \Carbon\Carbon::parse($request->date_of_receipt)->startOfMonth()->format('d-m-Y');
$end = \Carbon\Carbon::parse($request->date_of_receipt)->endOfMonth()->endOfDay()->format('d-m-Y');
return DB::table('installments')
->where('user_id', $user_id)
->whereBetween('date_of_receipt', [$start, $end])
->exists();