Машины опорных векторов - разделяющий вопрос о гиперплоскости

Question

Из того, что я видел, кажется, что гиперплоскость разделения должна иметь вид

x.w + b = 0 .

Я не очень хорошо себя чувствую в этой записи. Из того, что я понимаю, x.w является внутренним продуктом, поэтому его результатом будет скаляр. Как может быть так, что вы можете представлять гиперплоскость скаляром + b? Я совершенно запутался с этим.

Кроме того, даже если бы это было x + b = 0 , разве это не была бы гиперплоскость, которая проходит прямо через начало координат? Из того, что я понимаю, разделяющая гиперплоскость не всегда проходит через начало координат!

Answer 1

Это уравнение (гипер) плоскости, использующее точку и вектор нормали.
Думайте о плоскости как о множестве точек P, так что вектор, переходящий из P0 в P, перпендикулярен нормали

Проверьте эти страницы для объяснения:

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Answer 2

Представьте себе плоскость в трехмерной системе координат. Чтобы описать это, вам нужен нормальный вектор N этой плоскости и расстояние D от плоскости до начала координат. Для простоты предположим, что нормальный вектор имеет единичную длину. Тогда уравнение для этой плоскости есть x.N - D = 0.

Пояснение: x.N можно представить как проекцию x на вектор нормали N. Результатом является длина вектора x, параллельного N. Если эта длина равна D, точка x находится на плоскости.

Answer 3

Определение точечного произведения (которое является внутренним произведением):

x . y = | x | * | y | * cos (a)

Где a - наименьший угол между x и y .

Легко видеть, что x . y = 0, если a = 90 градусов (пи рад).

Это означает, что если у вас есть фиксированный нормальный вектор w , гиперплоскость определяется как:

x . ш = 0

- это множество всех точек, на которые x может "указывать", учитывая, что x должно быть ортогонально w .

Теперь гиперплоскость определяется как:

x . ш + b = 0

- это набор всех точек, на которые x может "указывать", так что x . w является константой. Когда x становится длиннее, | x | увеличивается, угол a должен приблизиться к 90 градусам (pi рад), cos (a) уменьшается, чтобы получить такой же постоянный результат. Однако если вы возьмете x , указывающую в противоположном направлении w , cos (a) = -1 и | x | = b (при условии, что w имеет длину единицы).

Оказывается, что плоскость, заданная для этого набора точек, параллельна x . w = 0 и сместил в пространстве расстояние -b (в направлении w ), все еще учитывая, что w имеет единицу длины.

Этот ответ, вероятно, не поможет оператору, но, надеюсь, кто-то еще выиграет от него.