Наконец я смог загрузить аватар проекта с помощью API и Python.Нет необходимости сначала загружать файл, а затем устанавливать URL, можно просто использовать API «Редактировать проект»:
import requests
filename = 'avatar.png'
baseUrl = 'https://gitlabrepositoryaddress.com'
url = baseUrl + '/api/v4/projects/' + str(id)
up = {'avatar':(filename, open(filename, 'rb'), 'multipart/form-data')}
authHeader = {'PRIVATE-TOKEN': 'XXXXXXXXXX'}
request = requests.put(url, files=up, headers=authHeader)
Ссылка на API находится здесь: https://docs.gitlab.com/ee/api/projects.html#edit-project
Я надеюсь, что это может помочь кому-то еще