Найдя решение, оберните команду в кавычки:
aws apigateway update-integration --rest-api-id a1b2c3d4e5 --resource-id a1b2c3 --http-method POST --patch-operations "op='replace',path='/requestTemplates/application~1json',value='{"example": "json"}'"
AWS должен обновить свой пример