Если ваша функция загрузки асинхронная, вы можете сделать это следующим образом
StorageUploadTask putFile =
storage.ref().child("folder/$fileName").putFile(file);
putFile.future.catchError(onError);
UploadTaskSnapshot uploadSnapshot = await putFile.future;
print("file uploaded");
После разрешения в будущем файл будет загружен.