После еще нескольких попыток и использования "context.Request.EnableRewind ()" это наконец-то работает так:
app.Use(async (context, next) =>
{
context.Request.EnableRewind();
var stream = context.Request.Body;
using (var reader = new StreamReader(stream))
{
var requestBodyAsString = await reader.ReadToEndAsync();
if (stream.CanSeek)
stream.Seek(0, SeekOrigin.Begin);
//Do some thing
await next.Invoke();
var responseStatusCode = context.Response.StatusCode;
//Do some other thing
}
});