В вашем коде у вас нет переменных $ cogname, $ telefono, $ email ....
Yo должен объявить, что переменные
$name = trim(stripslashes($_POST["1"]));
$cognome = trim(stripslashes($_POST["5"]));
$Telefono = trim(stripslashes($_POST["2"]));
$Email = trim(stripslashes($_POST["6"]));
$Provincia = trim(stripslashes($_POST["3"]));
$Professione = trim(stripslashes($_POST["7"]));
$Importo = trim(stripslashes($_POST["4"]));
$Note = trim(stripslashes($_POST["8"]));
это код для объявления.
И тогда вы можете написать.
if (!$name || !$cognome || !$Telefono || !$Email || !$Provincia || !$Professione || !$Importo || !$Note) {
echo 'Tutti i campi del modulo sono obbligatori!';
}