Если я понимаю, что вам нужно, вы можете просто сделать что-то вроде этого (просто измените значение ввода):
$(function() {
$("#datepicker").datepicker({
autoclose: true,
todayHighlight: true,
}).datepicker('update', new Date());
$('#datepicker input').val('birthday: ' + $('#datepicker input').val());
});
затем оберните обновление значения ввода в некоторый update-callback, если вам нужно, и т. Д..
https://jsfiddle.net/re9zpu2g/